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Stochastik Binomialverteilung Expert - Aufgabenblatt 1 |
| Dokument mit 12 Aufgaben |
Aufgabe A1 (2 Teilaufgaben)
| In einer Prüfung muss ein Kandidat 60 Fragen beantworten. Zu jeder Frage werden 5 Antworten angeboten, von denen nur eine richtig ist. Es darf jeweils nur eine Antwort angekreuzt werden. | |
| a) | Zum Bestehen der Prüfung müssen mehr als 15 Fragen richtig beantwortet werden. Ein ahnungsloser Prüfling kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung? |
| b) | Die zum Bestehen notwendige Anzahl richtiger Antworten soll neu festgelegt werden. Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen der Prüfung höchstens 3 % betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden? |
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Aufgabe A2 (2 Teilaufgaben)
| Ein Hersteller von Fliesen hat erfahrungsgemäß 10 % Ausschuss. Ein Großabnehmer einigt sich mit dem Hersteller auf folgende Abnahmeregel: Eine Sendung geht sofort zurück, wenn in einer Stichprobe von 20 Fliesen mehr als 4 Fliesen beschädigt sind. Sind 3 oder 4 Fliesen beschädigt, so wird eine zweite Stichprobe vom Umfang 50 entnommen. Sind in dieser mehr als 5 Fliesen beschädigt, wird die Sendung endgültig zurückgegeben. |
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| a) | Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Hersteller mit einer Rücksendung der Fliesen rechnen? |
| b) | Der Hersteller will das Risiko einer Rücknahme senken. Dazu soll die Regel bei der zweiten Stichprobe bezüglich der Anzahl der beschädigten Fliesen abgeändert werden. Wie muss die Änderung aussehen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine Rücksendung unter 6 % liegt? |
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Aufgabe A3 (2 Teilaufgaben)
| a) | In der Bundesrepublik Deutschland besitzen 43 % aller Personen die Blutgruppe A. 50 Personen werden zufällig ausgewählt. Begründe, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A in dieser Gruppe mit einer binomialverteilten Zufallsvariablen beschrieben werden kann. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: | |
| E: | „In dieser Gruppe haben genau 20 Personen die Blutgruppe A.“ | |
| F: | „In dieser Gruppe haben mehr als 25 Personen die Blutgruppe A.“ | |
| b) | Bei einem Medikament für eine bestimmte Krankheit geht man davon aus, dass es bei Patienten mit Blutgruppe A in 90 %, bei Patienten mit Blutgruppe B in 70 % aller Fälle zur Heilung führt. Zehn Patienten werden mit diesem Medikament behandelt. Acht von ihnen haben Blutgruppe A, zwei die Blutgruppe B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden |
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| - | alle zehn Patienten | |
| - | mindestens neun Patienten | |
| geheilt. | ||
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Aufgabe A4 (3 Teilaufgaben)
| Die Polizei plant für das Spiel der beiden Fußballvereine Rot-Weiß Klein-Krotzenburg (RWK) und TuS Recklinghausen (TuS) einen Einsatz. Sie geht davon aus, dass 48 % der Zuschauer Fans vom RWK und 30 % vom TuS sind. Keiner der Fans ist Fan von beiden Vereinen. Die restlichen Zuschauer werden als neutral eingestuft. Die Polizei weiß aus Erfahrung, dass 15 % aller Zuschauer Alkohol bei sich haben, unter den RWK-Fans sind es sogar 20 % und unter den TuS-Fans nur 10 %. |
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| a) | Die Polizei kontrolliert vor dem Stadion vier zufällig ausgewählte Personen aus einer Gruppe von RWK-Fans. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: | |
| A: | Mindestens eine Person hat Alkohol dabei. | |
| B: | Genau zwei Personen haben Alkohol dabei. | |
| C: | Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei. | |
| b) | Wie viel Prozent der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Personen, die Alkohol dabei haben, eine zufällig ausgewählte Person ein TuS-Fan ist? |
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| c) | Der Einsatzleiter möchte wissen, wie viele Personen mindestens in einer Gruppe von TuS-Fans kontrolliert werden müssen, um mit mehr als 60 % Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit Alkohol zu erwischen. Der Sohn des Einsatzleiters meint, die kleinste natürliche Zahl n, die die Ungleichung |
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| 0,6<1-(0,9n+0,9n-1∙0,1) | ||
| erfüllt, sei die gesuchte Personenzahl. Begründen Sie, warum dieser Ansatz falsch ist. |
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Aufgabe A5 (3 Teilaufgaben)
| Auf einem Glücksrad sind 40 gleich große Sektoren vorhanden. Jeder Sektor ist mit einer der Zahlen 0, 1, 2, 3 beschriftet. Die Zahlen sind mit folgenden absoluten Häufigkeiten vertreten: | ||||||
| Zahl | 0 | 1 | 2 | 3 | ||
| Absolute Häufigkeit | 20 | 10 | 6 | 4 | ||
| Das Glücksrad wird gedreht und zufällig gestoppt. Ein fest stehender Pfeil zeigt dann auf einen der Sektoren. Die Zahl im Sektor wird abgelesen und notiert. | ||||||
| a) | Dieser Vorgang wird genau viermal durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: |
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| A: | Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen. | |
| B: | Alle vier Zahlen treten je einmal auf. | |
| C: | Die 3 tritt mindestens zweimal auf. | |
| D: | Die Summe der vier Zahlen ist größer als 10. | |
| Ein Veranstalter bietet folgendes Spiel an: Ein Spieler darf das Glücksrad bis zu viermal drehen. Ziel ist es, eine möglichst hohe Zahl zu erreichen. Sobald der Spieler mit der Zahl zufrieden ist, kann er aufhören. Wenn er aber noch einmal dreht, wird die zuvor erreichte Zahl verworfen. Der Veranstalter beobachtet, dass viele Spieler folgende Strategie anwenden: "Spiele nur so lange, bis mindestens der Zahlenwert 2 auftritt und beende dann sofort das Spiel!" |
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| b) | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit dieser Strategie seine vier Versuche ausschöpft und nicht vorher aufhört? | |
| c) | Welchen Zahlenwert erreicht ein Spieler mit dieser Strategie im Durchschnitt? | |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 03. November 2024 03. November 2024
