1. Einführung

Zum Verständnis des Themas bedingte Wahrscheinlichkeit müssen wir uns zunächst ein paar zusätzliche Begriffe anschauen, um unser Thema besser verstehen zu können.

Der Multiplikationssatz

2. Der Multiplikationssatz

Der Multiplikationssatz - auch „1. Pfadregel“ genannt -lautet allgemein wie folgt:

Merksatz Mulitplikationssatz

	1. Pfadregel Seien A und B zwei Ereignisse, so errechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses „Schnittmenge“ aus
	$Fit in Mathe Latex: b33506c2ee52e65030e712027eedef07.png$

Beispiel 1
Lösung 1

2.1. Beispiel 1

Bürgermeisterwahl
Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke W₁ und W₂ eingeteilt. 60 % der Wähler kommen aus W₁, 40 % aus W₂. In W₁ erhält der Kandidat Albrecht 30 % der Stimmen, in W₂ dagegen 80 %.
Ein zufällig ausgewählter Wähler auf der Straße wird nach seinem Bezirk und seiner Wahl befragt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wähler aus W₂ kommt und Albrecht gewählt hat ?

Beispiel 2
Lösung 2

2.2. Beispiel 2

Urnenmodell
In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln schwarz?

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

3. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Gegeben sind ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen A und B sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses.
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist. Gesucht ist also P(A).
Die totale Wahrscheinlichkeit berechnet man mit Hilfe der 2. Pfadregel.

Merksatz zweite Pfadregel

2. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Gemäß der Grafik gilt:
$Fit in Mathe Latex: 3f7f786f536916d0af9ebd050d8187f7.png$
$Fit in Mathe Latex: 35ac90fe768bca70b97cb307a6a1ebac.png$

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Merksatz totale Wahrscheinlichkeit

	Seien A und B zwei abhängige Ereignisse, so errechnet sich die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A aus:
	$Fit in Mathe Latex: 9b4720e5f543316554104231775efcce.png$

Beispiel 3
Lösung 3

3.1. Beispiel 3

Bürgermeisterwahl
Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke W₁ und W₂ eingeteilt. 60 % der Wähler kommen aus W₁, 40 % aus W₂. In W₁ erhält der Kandidat Albrecht 30 % der Stimmen, in W₂ dagegen 80 %.
Wie viel Prozent der Stimmen hat der Kandidat Albrecht insgesamt bekommen?

Beispiel 4
Lösung 4

3.2. Beispiel 4

Urnenmodell
In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln schwarz ist?

Stochastische Unabhängigkeit

4. Stochastische Unabhängigkeit

Gegeben seien zwei Ereignisse A und B.
Es stellt sich die Frage, ob sich die beiden Ereignisse gegenseitig beeinflussen oder nicht. Wirkt sich das Eintreten des einen Ereignisses auf das Eintreten des anderen aus oder nicht?
Und aus dieser Fragestellung heraus bestimmt sich die Formulierung der stochastischen Unabhängigkeit zu

Merksatz stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses A das Eintreten des anderen Ereignisses B nicht beeinflusst

Beispiel 5
Lösung 5

4.1. Beispiel 5

In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln
a)	mit Zurücklegen
b)	ohne Zurücklegen
gezogen. Prüfe auf stochastische Unabhängigkeit.

Die Ergebnisse des Beispiels 5 zur stochastischen Unabhängigkeit führen uns zu der Erkenntnis:

Merksatz

	Das Ziehen mit Zurücklegen führt zu unabhängigen Ereignissen.
	Das Ziehen ohne Zurücklegen führt zu abhängigen Ereignissen.

In den folgenden beiden Unterkapiteln sind diese Erkenntnisse verallgemeinert dargestellt.

Unabhängige Ereignisse

Abhängige Ereignisse

Aus den letzten beiden Darstellungen ergibt sich auch die Definition der stochastischen Unabhängigkeit:

Merksatz Formel stochastische Unabhängigkeit

	Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
	$Fit in Mathe Latex: b4bc2c666b14eafd264681ab63944e24.png$ .

Bedingte Wahrscheinlichkeit

5. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wir haben gesehen, dass sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen verändern können, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss untersuchen zu können, haben Mathematiker den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt.

Merksatz Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

	P_B (A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass vorher B eingetreten ist.
	Statt P_B(A) findet man auch häufig P(A\|B).

Um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu veranschaulichen, eignet sich ein Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $Fit in Mathe Latex: b3ff8965f4c57ad588471c19527649fc.png$ eintritt: P_B (A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. $Fit in Mathe Latex: d946585ae83d6a77b33257fcb25b395d.png$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass $Fit in Mathe Latex: b3ff8965f4c57ad588471c19527649fc.png$ eingetreten ist.
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $Fit in Mathe Latex: e0405bc65fde29e30096c1acd9bead80.png$ im 2. Zug ist abhängig davon, ob im 1. Zug das Ereignis B oder $Fit in Mathe Latex: b3ff8965f4c57ad588471c19527649fc.png$ eintritt: $Fit in Mathe Latex: ce89e92326eb7d98a28beea610f54056.png$ ist die Wahrscheinlichkeit von $Fit in Mathe Latex: e0405bc65fde29e30096c1acd9bead80.png$ unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. $Fit in Mathe Latex: 2a73b4e15c053a76b6558a7686a20114.png$ ist die Wahrscheinlichkeit von $Fit in Mathe Latex: e0405bc65fde29e30096c1acd9bead80.png$ unter der Bedingung, dass $Fit in Mathe Latex: b3ff8965f4c57ad588471c19527649fc.png$ eingetreten ist.

Herleitung Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

6. Satz von Bayes

Wir stellen uns die Frage, ob aus dem Ergebnis von beispielsweise P_A (B) die Umkehrung P_B(A) hergeleitet werden kann. Hierzu betrachten wir uns ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen A und B.
Gegeben sei P_A(B), die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist.
Gesucht wird P_B(A), die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist. Beachte, dass bei neben abgebildetem Baumdiagramm die Ereignisse A und B vertauscht sind.
Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert P_A(B) aus, mit dessen Hilfe man P_B (A) berechnet.

Herleitung des Satzes von Bayes

Merksatz Satz von Bayes Formel

	Der Satz von Bayes lautet:
	$Fit in Mathe Latex: 147c0141b312c264e021b8c0afabd265.png$

Beispiel 7
Lösung 7

6.2. Beispiel 7

Eine Schülerin fährt in 70 % der Schultage mit dem Bus.
In 80 % dieser Fälle kommt sie pünktlich zur Schule.
Durchschnittlich kommt sie aber nur an 60 % der Schultage pünktlich an.
Heute kommt die Schülerin pünktlich zur Schule.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie den Bus benutzt?

1. Ziehung: Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine schwarze Kugel zu ziehen, genau $Fit in Mathe Latex: 74c67071d9369b7448330cf9f00fdb7f.png$ . Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $Fit in Mathe Latex: a787218c6214a53c33915f4ff1326e9e.png$ .
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine schwarze Kugel gezogen hat: Da bereits eine Kugel gezogen wurde, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne, 3 schwarze und 5 weiße.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine weiße Kugel gezogen hat: Da bereits eine Kugel gezogen wurde, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne, 4 schwarze und 4 weiße.
Gesucht war die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Kugeln schwarz sind. Laut dem Multiplikationssatz gilt:
$Fit in Mathe Latex: d871a8f77c2cec390e02c8db175434d9.png$
Zu 16,67 % sind bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln beide Kugeln schwarz.

1. Ziehung: Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine schwarze Kugel zu ziehen, genau $Fit in Mathe Latex: 74c67071d9369b7448330cf9f00fdb7f.png$ . Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach $Fit in Mathe Latex: a787218c6214a53c33915f4ff1326e9e.png$ .
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine schwarze Kugel gezogen hat: Da bereits eine Kugel gezogen wurde, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne, 3 schwarze und 5 weiße.
2. Ziehung unter der Bedingung, dass man bereits eine weiße Kugel gezogen hat: Da bereits eine Kugel gezogen wurde, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne, 4 schwarze und 4 weiße.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine der gezogenen Kugeln schwarz ist. Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit sagt:
$Fit in Mathe Latex: 566a6720294ebb22b47fee53bcc81d4f.png$ $Fit in Mathe Latex: 23dbbcbdaf9b4bc1b5b9b57e0677d787.png$
Zu 55,56 % ist bei zwei Ziehungen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln genau eine der Kugeln schwarz.
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt feststellen, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Ein Ereignis entspricht mehreren Elementarereignissen. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der 2. Pfadregel.

Unter den 20 Schülern einer 11. Klasse sind 4 Raucher. Von den 12 männlichen Schülern sind 3 Raucher. Gesucht wird ein neuer Klassensprecher. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, ist für jeden Schüler gleich groß. Die Ereignisse seien:
A:	„Der ausgewählte Schüler ist Raucher“
B:	„Der ausgewählte Schüler ist männlich“
Bestimme den Anteil der männlicher Schüler unter der Bedingung, dass sie Raucher sind, also P_R (M)

Das zugehörige Baumdiagramm ergibt sich aus der Grafik rechts. 4 Schüler sind Raucher, also $Fit in Mathe Latex: 08c122b5256de7de537b220900e608a7.png$ und $Fit in Mathe Latex: 5f8624f990631b2bc3875bbe31695195.png$ . 3 der 20 Schüler sind männliche Raucher, damit $Fit in Mathe Latex: c2080bf08b415ea35cee7835a8f39323.png$ , 1 der 20 Schüler ist weibliche Raucherin, damit $Fit in Mathe Latex: 676a8b82352b2a22bb27cc99eee0c223.png$ . 9 der 20 Schüler sind männliche Nichtraucher, damit $Fit in Mathe Latex: dac6dee78845d7600f19030dad10aebc.png$ 7 der 20 Schüler sind weibliche Nichtraucher, damit $Fit in Mathe Latex: 475da8707a3c61069985788462ba25a8.png$ .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_R(M) errechnet sich nun aus:
$Fit in Mathe Latex: ead8d5657da52c3c299b091516c6e7c9.png$
Der Anteil der männlichen Schüler unter den Rauchern beträgt 75 %.

Um die Formel für die Berechnung von P_B(A) aus P_A(B) zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen.
Nach dem Multiplikationssatz (1. Pfadregel) gilt: $Fit in Mathe Latex: 32bbb212e08d08d361a96900c830f648.png$ Umgestellt nach P_B(A) $Fit in Mathe Latex: c1d759071b3d1b1f37967123da4382cb.png$
Nach dem Multiplikationssatz (1. Pfadregel) gilt: $Fit in Mathe Latex: b08709a3d475462f7b4d59a3b03f8ba6.png$
Da jedoch gilt, dass $Fit in Mathe Latex: 91746e74ee11a5797639246c64d257d1.png$ (Assoziativgesetz der Multiplikation) können wir $Fit in Mathe Latex: 68b6491fd6f3d63f77674b38bbb03531.png$ der ersten Abbildung durch $Fit in Mathe Latex: bd192babc084d92017f0812a87744d39.png$ ersetzen und erhalten und erhalten den Satz von Bayes:
$Fit in Mathe Latex: 264757c9a3a09b64f7e16ae9763c4f5c.png$
Den Nenner des Bruchs können wir noch umschreiben. Dazu benötigen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Bedingte Wahrscheinlichkeit der Stochastik

1. Einführung