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Ähnlichkeitsbeweis Kathetensatz des Euklid |
Aufgabenstellung
Beweise den Kathetensatz auf zwei verschiedene Arten, einmal als Ähnlichkeitsbeweis sowie auf eine andere Art.
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Eine Frage stellen...Beweisführung Ähnlichkeit
| Der Kathetensatz des Euklid lautet: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenusenabschnitten p und q gilt: a2=p⋅c und b2=q⋅c. Dividiert man die Gleichungen des Kathetensatzes einmal durch die jeweilige Kathete und anschließend durch den entsprechenden Hypotenusenabschnitt, erhält man eine Verhältnisgleichung wie folgt: |
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| a2=p⋅c | | | :p | |
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| b2=q⋅c | | | :q | |
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| somit gilt: | |||
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| Da ähnlichen Figuren streckenverhältnistreu sind, zwängt sich ein Beweis des Kathetensatzes über Ähnlichkeit geradezu auf. Im nachfolgenden führen wir den Beweis in 5 Schritten durch. | |||
| Wir suchen im 1. Schritt ähnliche Dreiecke. |  |
| Im 2. Schritt stellen wir fest, dass die Dreiecke ΔABC, ΔBCD sowie ΔCAD ähnlich sind, denn alle drei Dreiecke haben einen rechten Winkel sowie identisch große Basiswinkel an den jeweiligen Hypotenusen. |  |
| Im 3. Schritt suchen wir sich entsprechende Seitenverhältnisse mit den Seiten a bzw. b. |  |
Wir stellen die Ähnlichkeiten von ΔABC und ΔBCD fest mit  sowie für ΔABC und ΔCAD mit  . |
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| Durch Gleichungsumstellung der Ähnlichkeitsverhältnisse aus Schritt 4 erhalten wir letztendlich den Beweis des Kathetensatzes, nämlich: |  |
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| | ⋅ a | ||
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| | ⋅ c | ||
| a2=p∙c | ||||
| sowie | ||||
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| | ⋅ b | ||
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| | ⋅ c | ||
| b2=q∙c | ||||
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Fehler melden...Beweisführung anders
| Eine mögliche zweite Beweisart führt uns zum Satz des Pythagoras und dem Höhensatz des Euklid. Im neben abgebildeten rechtwinkligen Dreieck gilt: |
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| b2=q2+h2 | Satz des Pythagoras | |||
| h2=p⋅q | Höhensatz des Euklid | |||
| b2=q2+p⋅q | ||||
| b2=q(q+p) | (q ausgeklammert) | |||
| Wegen q+p=c gilt damit: | ||||
| b2=q⋅c | ||||
Identische Vorgehensweise für |
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| a2=p2+h2 | Satz des Pythagoras | |||
| h2=p⋅q | Höhensatz des Euklid | |||
| a2=p2+p⋅q | ||||
| a2=p(p+q) | (p ausgeklammert) | |||
| Wegen p+q=c gilt damit: | ||||
| a2=p⋅c | ||||
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- Geschrieben von Dr.-Ing. Meinolf Müller Dr.-Ing. Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 06. Juli 2021 06. Juli 2021
