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WIKI Funktionsanalyse - Kurvendiskussion |
Funktionen analysieren
| Unter „Funktionsanalyse“ bzw. "Kurvendiskussion" in der Differenzialrechnung wollen wir die Untersuchung der Graphen von Funktionen auf deren geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen (Globalverhalten) u.a.m. verstehen. Diese Informationen erlauben es uns, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind. Heute ist es nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, den Menschen dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des Graphen der Funktion zu produzieren: das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) besser. |
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Ziel der Kurvendiskussion ist vielmehr,
Quelle: angelehnt an WIKIPEDIA Kurvendiskussion |
 Abbildung 10 ≤ x ≤ 3,5; 0 ≤ y ≤ 5  Abbildung 21,9 ≤ x ≤ 2,1; 1,95 ≤ y ≤ 2,15 |
Elemente der Kurvendiskussion
Wendepunkte
| Als Wendepunkte bezeichnen wir diejenigen Punkte, in denen der gegebene Funktionsgraph seine Steigung von stärker nach flacher bzw. von flacher nach stärker wechselt. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Steigungen und wird auch mit Links- Rechtskrümmungswechsel bzw. Rechts- Linkskrümmungswechsel bezeichnet. Zur Bestimmung der Wendepunkte setzen wir zunächst die zweite Ableitung gleich 0. Die Lösungen der Gleichung f''(x)=0 (siehe notwendige Bedingung) kommen als Wendestellen in Frage. Mit einer der nachfolgend aufgeführten hinreichenden Bedingungen weisen wir anschließend nach, dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt. |
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| • | Notwendige Bedingung | |
| Sei f eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall I definiert und zweimal stetig differenzierbar ist. Hat der Graph von f an der Stelle x0 einen Wendepunkt, so gilt f''(x0)=0. | ||
| • | Hinreichende Bedingung 1: Wert der dritten Aleitung | |
| Diese Bedingung bietet eine bequeme Möglichkeit, den Nachweis für das Vorliegen eines Wendepunktes zu führen und zugleich den Wechsel der Krümmung von rechts nach links bzw. von links nach rechts festzustellen. Sei f eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall I definiert und dreimal stetig differenzierbar ist, und gilt an der der Stelle  1. f'' (x0)=0 2. f''' (x0)≠0 so hat der Graph von f an der Stelle x0 eine Wendestelle. |
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| • | Hinreichende Bedingung 2: Wert der ersten Aleitung | |
| Ist an der Stelle x0 neben der zweiten Ableitung auch die dritte Ableitung gleich 0, so versagt das zuletzt genannte Kriterium. In diesem Fall untersuchen wir, ob die erste Ableitung bei x0 das Vorzeichen wechselt. Zu diesem Zweck wählen wir einen Wert kleiner und einen Wert größer als die Nullstelle der zweiten Ableitung (also der x-Koordinate der eventuellen Wendestelle). Diese beiden Werte werden in die erste Ableitung eingesetzt. Unterscheiden sich die Vorzeichen der Werte der ersten Ableitung an diesen Stellen, so liegt kein Wendepunkt vor. Wechselt das Vorzeichen nicht, so handelt es sich um eine Wendestelle. |
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| Nähere Einzelheiten und Beispiele findest du im Kapitel „Wendepunkte“. | ||
Asymptoten
| Wir unterscheiden nach waagrechten, schiefen und senkrechten Asymptoten. Eine weitere Unterscheidungsklasse sind Näherungskurven. Die senkrechten Asymptoten haben einen weiteren Namen, sie werden auch als Pole bezeichnet. | ||
| • | Waagrechte Asymptoten |
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Eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn sich der Funktionswert einer Funktion f im Unendlichen einem bestimmten Wert  nähert. Wir schreiben:  , alternativ  . |
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| • | Schiefe Asymptoten |
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Eine schiefe Asymptote liegt vor, wenn sich der Funktionswert einer Funktion f im Unendlichen einer Geraden y=m⋅x+c nähert. Wir schreiben:  , alternativ  . |
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| • | Näherungskurven | |
Eine Näherungskurve liegt vor, wenn sich der Funktionswert einer Funktion f im Unendlichen einer anderen Funktion g nähert. Wir schreiben:  , alternativ  . |
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| • | Senkrechte Asymptoten (Pole) | |
| Senkrechte Asymptoten treten nur in Definitionslücken auf, z. B. bei gebrochen rationalen Funktionen. In Definitionslücken von Funktionen nimmt die Abszisse x einen Wert an, der zu einer Division mit 0 führt. Eine senkrechte Asymptote wird kürzer auch mit Pol bezeichnet. Bei Annäherung des Wertes der Abszisse x an die Definitionslücke läuft der Funktionswert entweder gegen +∞ oder -∞. Gegen Welchen Wert er läuft ist abhängig von der Funktionsgleichung und ist von Fall zu Fall zu untersuchen. Wir unterscheiden noch Pole mit Vorzeichenwechsel und ohne Vorzeichenwechsel. |
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| Nähere Einzelheiten und Beispiele findest du im Kapitel „Asymptoten“. | ||
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- Geschrieben von Dr.-Ing. Meinolf Müller Dr.-Ing. Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 04. Juni 2021 04. Juni 2021
