2006 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
Aufgaben des Prüfungsjahres 2006 BW |
Dokument mit 4 Aufgaben |
Aufgabe 1.1
a) | Gegeben ist die Funktion f durch mit 0≤x≤130. Ihr Schaubild sei K. Skizzieren Sie K. Das Schaubild C einer weiteren Funktion g mit g(x)=ax2+bx+c enthält die Punkte P1(0|95), P2(10|95) und P3(20|92). Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c. Skizzieren Sie C im ersten Feld des vorhandenen Koordinatensystems. (Teilergebnis: g(x)=-0,015x2+0,15x+95) |
Eine Skisprunganlage besteht aus Sprungschanze und Aufsprunghang. Das Schaubild K beschreibt das Profil des Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn eines Skispringers. Der Absprung erfolgt bei x=0. (Alle Angaben in Meter) | |
b) | Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Springer auf dem Aufsprunghang aufsetzt. Wie groß ist die maximale vertikal gemessene Höhe des Springers über dem Aufsprunghang? |
c) | Der Wendepunkt W(71|40) von K entspricht dem "kritischen Punkt" des Aufsprunghangs. Mögliche Flugbahnen des Skispringers werden nun durch Schaubilder der Funktionen gk mit gk(x)=-0,015x2+kx+95 beschrieben. Welchen Wert darf der Parameter k höchstens annehmen, damit der Springer mit dieser Flugbahn nicht hinter dem kritischen Punkt landet? |
d) | Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil des Aufsprunghangs verändert werden. Er soll nach dem Umbau durch die Funktion h mit h(x)=0,0001∙(1,25x3-225x2+2150x+900000) mit 0≤x≤130 beschrieben werden. Muss zur Realisierung des neuen Profils insgesamt Erde weggefahren oder angeliefert werden, wenn angenommen wird, dass der Aufsprunghang überall gleich breit ist? |
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Aufgabe 1.2
Gegeben ist die Funktion f mit | |
für 0≤x≤12. | |
Ihr Schaubild sei K. | |
a) | Skizzieren Sie K. Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von K mit der Geraden y=mx in Abhängigkeit von m an. |
b) | Bestimmen Sie die Seitenlängen des flächengrößten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der x-Achse und die beiden anderen Ecken auf K liegen. |
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Aufgabe 2.1
Für jedes a>0 ist eine Funktion fa gegeben durch | |
. | |
a) | Wie wirkt sich die Vränderung des Parameters a auf das Schaubild von fa aus? Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von fa mit der x-Achse zwischen zwei benachbarten Nullstellen einschließt. |
b) | Das Schaubild von f0,5 schließt im Bereich 0≤x≤2π mit der x-Achse eine Fläche ein. Eine Parallele zur x-Achse durch den Kurvenpunkt P(z|f0,5(z)) halbiert diese Fläche. Bestimmen Sie z. |
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Aufgabe 2.2
Durch f(t)=20t⋅e-0,5t wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in mg/l gemessen. Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des Medikaments durchzuführen. |
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a) | Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Konzentration. Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser höchste Wert? Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine Konzentration im Blut mindestens 4 mg/l beträgt. Berechnen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament wirksam ist. Wie hoch ist die mittlere Konzentration des Medikaments innerhalb der ersten 12 Stunden? |
b) | Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut? Wie groß ist zum Zeitpunkt t=4 die momentane Änderungsrate der Konzentration? Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des Medikaments nun näherungsweise durch die Tangente an das Schaubild von f an der Stelle t=4 beschrieben. Bestimmen Sie damit den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist. |
c) | Anstelle der Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun wieder die Beschreibung der Konzentration durch f verwendet. Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei die Konzentrationen im Blut des Patienten addieren. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Gesamtkonzentration für 0≤t≤12. Die Konzentration des Medikaments im Blut darf 20 mg/l nicht übersteigen. Wird diese Vorgabe in diesem Fall eingehalten? |
d) | Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung verändert. Die Konzentration des Medikaments im Blut wird durch g(t)=at∙e-bt mit a>0 und b>0 beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und g(t) in mg/l gemessen. Bestimmen Sie die Konstanten a und b, wenn die Konzentration vier Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert 10 mg/l erreicht. |
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2006 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 17. Juli 2019 17. Juli 2019