Mustersatz 09 Wahlteil Analytische Geometrie Abitur ab 2019 |
Dokument mit 8 Aufgaben |
Aufgabe M09B1
Für jeden Wert von a mit ist eine Gerade ga gegeben durch | |
a) | Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Punkts, in dem ga die x1x2-Ebene schneidet. |
b) | Für genau einen Wert von a hat die Gerade ga einen Schnittpunkt mit der x3-Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts. |
Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die x1x2-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten K1(0|4|0), K2 (0|0|0), K3 (3|0|0) und K4(3|4|0) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten S1(0|6|2,5), S2(0|0|3) und S3(6|0|2,5) dargestellt (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die drei Punkte S1, S2 und S3 legen die Ebene E fest. |
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c) | Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform. (Teilergebnis: E: x1+x2+12x3-36=0) |
d) | Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als 20 m2 durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist. |
Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit S2 bzw. S3 bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit S'2 bzw. S'3 bezeichnet. | |
e) | Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass S'2 auf der x2-Achse liegt. |
f) | S'3 hat die Koordinaten S'3(6|-2|0). Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in die obige Abbildung ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist. |
g) | Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens 8 ° gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist. |
h) | Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von 50 cm. An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche 5 cm tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung). Das Volumen V eines Kugelsegments kann mit der Formel |
berechnet werden, wobei r den Radius der Kugel und h die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermitteln Sie, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden. |
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Mustersatz 09 Wahlteil Analytische Geometrie Abitur ab 2019 |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 29. April 2020 29. April 2020