Mustersatz 11 Wahlteil Analytische Geometrie Abitur ab 2019 |
Dokument mit 7 Aufgaben |
Aufgabe M11B1
Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier 4,50 m langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden. In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten modellhaft durch die Punkte A(2|-3|-0,5), B,C und D(-3|-2|-0,5) sowie E(2|-3|4), F(3|2|4), G(-2|3|4) und H(-3|-2|4) dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt S(0|0|5). Dabei beschreibt die x1x2-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit. |
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a) | Weisen Sie nach, dass das Viereck EFGH ein Quadrat ist. Die Punkte E, F und S liegen in einer Ebene L. Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform. |
b) | An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt im Modell durch einen Punkt T dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck EFS beschrieben wird. Beschreiben Sie, wie man die Länge dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von T und bekannt sind. |
c) | Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von 2,10 m verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von 3,50 m über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte. Berechnen Sie das Verhältnis der Längen dieser beiden Abschnitte. |
d) | Es soll eine vertikale Kletterstange aufgestellt werden, deren Fußpunkt im Modell durch einen Punkt P der x1x2-Ebene beschrieben wird. Die Kletterstange soll von dem Pfosten, der durch die Strecke AE dargestellt wird, doppelt so weit entfernt sein wie von dem Pfosten, der durch die Strecke BF dargestellt wird. Bestimmen Sie für zwei mögliche Positionen der Kletterstange jeweils die Koordinaten von P. |
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Aufgabe M11B2
Gegeben sind die Punkte A(6|1|0), B(4|5|-4) und C(-2|8|2). | |
a) | Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC bei B einen rechten Winkel besitzt. Die drei Punkte liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Es gibt einen Punkt D, für den das Viereck ABCD ein Rechteck ist. Ermitteln Sie die Koordinaten von D. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks 54 FE beträgt. (Teilergebnis: E:2x1+2x2+x3=14) |
b) | Es gibt Pyramiden mit der Grundfläche ABCD, die das Volumen 108 VE haben. Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze einer solchen Pyramide. |
c) | Ein Teil der Fläche des Rechtecks ABCD befindet sich unterhalb der x1x2-Ebene. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Teilfläche. |
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Lösung M11B2 b-c)
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 01. Mai 2020 01. Mai 2020
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Mustersatz 11 Analytische Geometrie Abitur ab 2019 |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 01. Mai 2020 01. Mai 2020