Musteraufgaben Matrizen und Prozesse Berufsgymnasium (ohne Hilfsmittel) |
Dokument mit 27 Aufgaben |
Musteraufgabe A1 (2 Teilaufgaben)
3.1 | Die Kunden eines Getränkemarktes kaufen wöchentlich einen der beiden Fruchsaftspezialitäten Apfelsaft (A) und Orngensaft (O). Das Übergangsdiagramm beschreibt das Kaufverhalten der Kunden von einer Woche zur folgenden Woche. Man nimmt an, dass sich das Kaufverhalten auf Dauer nicht verändert. |
(4P) |
Geben Sie die vollständige Übergangsmatrix an. Erläutern Sie die Bedeutung der Elemente der Hauptdiagonalen M2. |
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3.2 | Gegeben ist die Matrix Lösen Sie die Matrizengleichung . E ist hierbei die zugehörige Einheitsmatrix. |
(3P) |
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Musteraufgabe A2 (2 Teilaufgaben)
3.1 | Anna, Biggi und Chris schicken sich öfter SMS-Nachrichten. In der letzten Woche schrieb Anna an Biggi 58 und an Chris 42 SMS. Biggi schrieb 62 an Anna und 38 an Chris. Chris schrieb an Anna und an Chris jeweils 50 SMS. Stellen Sie die SMS-Kontakte graphisch dar. Begründen Sie, dass in der Hauptdiagonalen der Matrix, die die Häufigkeit der SMS-Kontakte wiedergibt, stets 0 steht. |
(4P) |
3.2 | A, B und X sind 3x3-Matrizen. Bei welcher der folgenden Terme kann X ausgeklammert werden? (1) A⋅X+X (2) X⋅A+B⋅X In manchen Fällen kann man die Gleichung A∙X+2X=B nicht nach X umstellen. Geben Sie dafür eine mögliche Matrix A an. |
(4P) |
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Musteraufgabe A3 (4 Teilaufgaben)
3.1 | Die monatiche Entwicklung einer Population mit den drei Stufen , und wird beschrieben durch die Matrix X=. | |
3.1.1 | Zeichne das zugehörige Übergangsdiagramm. | (1P) |
3.1.2 | Zeige, dass sich die Verteilung von Monat zu Monat wiederholt. | (2P) |
3.1.3 | Tom: „Es liegt also eine zyklische Populationsentwicklung mit einem einmonatigen Zyklus vor.“ Beurteile diese Aussage. |
(2P) |
3.2 | Untersuche die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems: x1+2x2+2x3=18 x1+ x2+ x3=10 x2+x3=8 |
(3P) |
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Musteraufgabe A4 (3 Teilaufgaben)
3.1 | Berechne die Inverse zu . | (2P) |
3.2 | „Da die Division zweier Matrizen nicht definiert ist, benötigt man inverse Matrizen, um Matrizengleichungen zu lösen.“ Erläutere diese Aussage anhand einer selbst gewählten Matrizengleichung. |
(1P) |
3.3 | Berechne X aus A⋅X-A=X mit A=. | (3P) |
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Musteraufgabe A5 (2 Teilaufgaben)
3.1 | Berechne die Inverse zu A=. | (2P) |
3.2 | Die Übergangsmatrix M= beschreibt eine stochastische Austauschmatrix. Welche Werte für c und d sind möglich? Für welchen Wert von c ist ein Stabilitätsvektor? |
(3P) |
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Musteraufgabe A6 (3 Teilaufgaben)
3.1 | Untersuche die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems. x1+2x2+x3=8 x1+4x2+x3=10 x1+ x2+x3=3 |
(3P) |
3.2 | Drei Kaffeeröstereien konkurrieren mit Ihren Kaffeesorten A, B und C um die Gunst der Käufer, wobei folgendes monatliches Wechselverhalten der Käufer zu beobachten ist: 20 % der Käufer der Sorte A wechseln zu Sorte C, kein Käufer wechselt zu Sorte B. 10 % der Käufer der Sorte B wechseln zu Sorte A, 10 % der Käufer der Sorte B wechseln zur Sorte C. 10 % der Käufer der Sorte C wechseln zur Sorte A, 20 % der Käufer der Sorte C wechseln zu Sorte B. |
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3.2.1 | Gib die zugehörige Übergangsmatrix A an. | (1P) |
3.2.2 | Erläutere die Bedeutung der Elemente a11, a22 und a33 von A3. | (2P) |
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Musteraufgabe A7 (1 Teilaufgabe)
3.1 | Ein zoologisches Institut hält eine Käfer-Art unter künstlichen Bedingungen in einem abgeschlossenen Schaukasten. Die Käfer-Art durchläuft drei Entwicklungsstadien: Eier (E), Larven (L) und Käfer (K). Die Übergangsmatrix für einen Entwicklungszyklus von drei Wochen ist |
(5P) |
3.1 | A= | (5P) |
bezogen auf den Populationsvektor . Darin bedeutet d die durchschnittliche Anzahl der Eier, die pro Käfer in einem Entwicklungszyklus gelegt werden. Das Institut möchte die Population möglichst konstant halten. Es kann über Beleuchtung und Temperatur die Anzahl d beeinflussen. Bestimme die Anzahl d so, dass es möglich ist, eine Käfer-Population einzurichten, die sich in Zusammensetzung und Gesamtzahl in jedem Zyklus reproduziert. |
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Musteraufgaben Matrizen und Prozesse Berufsgymnasium (ohne Hilfsmittel) |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 07. Oktober 2019 07. Oktober 2019