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4. Die Konstantenregel
Die Konstantenregel besagt, dass eine Konstante  zum Faktor der Stammfunktion wird. |
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5. Die Potenzregel
| Die Potenzregel lautet: |
 mit  und zusätzlich  falls n<-1. |
| An dieser Stelle erkennen wir gut die Umkehrrechenart. Wird bei der Potenzregel der Ableitung die Hochzahl als Faktor vor den Term geschrieben und anschließend um den Wert 1 vermindert, so wird bei der Potenzregel der Integration die Hochzahl um 1 erhöht und diese neue Hochzahl in den Nenner eines Bruchs geschrieben. |
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und x>0 gilt:
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.7. Die Faktorregel
Die Faktorregel besagt, dass Faktoren erhalten bleiben. Es sei f eine in ganz  differenzierbare Funktion. Dann gilt: |
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| Dies entspricht der Faktorregel der Ableitungen. |
8. Die Summen- bzw. Differenzregel
| Es seien f und g stetige Funktionen. Dann gilt: |
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| Bei zusammengesetzten Funktionen werden die Summanden / Subtrahenden einzeln integriert. Dies entspricht ebenfalls der Summen- bzw. Differenzregel der Ableitungen. |
9. Lineare Substitution
| Es sei f eine verkettete Funktion mit f(x)=v(u(x)) und u(x)=z eine lineare Funktion in der Form z=ax+b sowie F eine Stammfunktion der äußeren Funktion v, dann gilt: |
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| zugegebener Maßen ein kompliziert zu verstehender Ausdruck. |
| Für den mathematisch Interessierten: |
| Beweis: |
Es sei f(x)=v(u(x)). Dann ist die Stammfunktion  . Wir substitieren z=u(x) dann ist  . Nun bilden wir  . Diesen Ausdruck stellen wir um nach dx:  . Jetzt ersetzen wir dx im Integral durch diesen Ausruck und erhalten  |
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| Für den mathematischen Praktiker: |
| Bei der linearen Substition (ein viel zu kompliziertes Wort) wird die Stammfunktion gebildet durch: |
| Integration der äußeren Funktion dividiert durch die Ableitung der inneren Funktion. |
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Die äußere Funktion lautet  , die innere Funktion ist  . |
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Die Stammfunktion der äußeren Funktion ist der Sinus mit  . Die Ableitung der inneren Funktion mit ist  .Somit gilt: |
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| | Anwendung der Faktorregel |
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| | Stammfunktion äußere Funktion dividiert durch Ableitung der inneren Funktion |
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| | Vereinfachen |
| Wir merken uns die Vorgehensweise: | |
| 1. | Schreibe einen Bruchstrich. |
| 2. | Bilde die Stammfunktion der äußeren Funktion und schreibe diese in den Zähler des Bruchs. |
| 3. | Bilde die Ableitung der inneren (linearen) Funktion und schreibe diese in den Nenner des Bruchs. |
| 4. | Vereinfache so weit wie möglich. |
10. Formansatz mit Koeffizientenvergleich
| In einigen Bundesländern (z. B. Hessen) wird bezüglich der Integration von e-Funktionen der Formansatz mit Koeffizientenvergleich gelehrt. Dieses Verfahren ersetzt für diesen speziellen Bereich die partielle Integration, wie Letztere im Kapitel „Integrationsregeln komplex“ beschrieben ist. |
| Ausgehend von einer aus ganzrationaler und Exponentialfunktion zusammengesetzten Funktion als Ableitungsfunktion wird über einen Formansatz eine allgemeine Lösung der Stammfunktion gebildet. Diese Stammfunktion wird abgeleitet und mit der gegebenen Ableitungsfunktion verglichen. |
| Es sei f(x)=(2x-1)∙e2x die gegebene Ableitungsfunktion. Der Formansatz der gegebenen Stammfunktion lautet nun F(x)=(Ax+B)∙e2x. Die Stammfunktion wird nun abgeleitet und die sich ergebenden Koeffizienten A und B mit der Ableitungsfunktion verglichen. Dabei ergibt sich in der Regel ein lineares Gleichungssystem. |
| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Integral und Stammfunktion Basisaufgaben Aufgabenbl. Level 1 / Blatt 1  21 Aufgaben im Blatt |
| Integral und Stammfunktion Basisaufgaben Aufgabenbl. Level 1 / Blatt 2 21 Aufgaben im Blatt |
| Integral und Stammfunktion Basisaufgaben Aufgabenbl. Level 1 / Blatt 3 21 Aufgaben im Blatt |
| Integral und Stammfunktion Basisaufgaben Aufgabenbl. Level 2/ Blatt 1 21 Aufgaben im Blatt |
| Integral und Stammfunktion Basisaufgaben Aufgabenbl. Level 2/ Blatt 2 13 Aufgaben im Blatt |
| Integral und Stammfunktion Trigonometrie Aufgabenbl. Level 2/ Blatt 3 25 Aufgaben im Blatt |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 25. Januar 2022 25. Januar 2022
