2020 Original Abituraufgaben Berufsgymnasium Teile 2 bis 4 |
Teil 2 Analysis
Die Aufgabe ist zu bearbeiten. |
Aufgabe A1
1.1 | Die Funktion f ist gegeben durch . Das Schaubild von f ist Kf. Die erste Ableitung f' von f ist und die zweite Ableitung f'' von f ist . |
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1.1.1 | Weisen Sie nach, dass der Hochpunkt von Kf ist. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von Kf an. |
(4P) |
1.1.2 | Zeichnen Sie Kf für 0 ≤ x ≤ 6. | (3P) |
1.1.3 | Zeigen Sie, dass F mit eine Stammfunktion von f ist. Bestimmen Sie den Wert von a in der Gleichung . |
(5P) |
1.2 | Für x ≥ 0 sind die Funktionen g mit und h mit gegeben. Die Abbildung zeigt die Schaubilder Kg von g und Kh von h. | |
1.2.1 | Prüfen Sie die folgende Aussage: „Die Gerade durch die beiden Punkte P(1|h(1)) und Q(2|g(2)) ist sowohl die Normale von Kh in P als auch die Normale von Kg in Q.“ |
(4P) |
1.2.2 | Die y-Achse, Kh und die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y=c mit c > 0 begrenzen eine Fläche. Durch Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper. Bestimmen Sie den Wert von c, sodass dessen Volumen 32π beträgt. |
(4P) |
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Teil 2 Anwendungsorientierte Analysis
Von drei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A2/2020
2 | Der Wasserzufluss bzw. der Wasserabfluss eines Staubeckens wird über 24 Stunden hinweg beobachtet und durch die Funktion v mit modelliert. Hierbei gibt t die Zeit seit Beginn der Beobachtung (t = 0) in Stunden an. v(t) wird in Kubikmeter pro Stunde (m3/h) gemessen. Bei Wasserzufluss ist v(t) positiv und bei Wasserabfluss ist v(t) negativ. Die Abbildung zeigt das Schaubild von v. | |
2.1 | Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage: „Es gibt einen Zeitpunkt, an dem 280 m3/h abfließen.“ Geben Sie den maximalen Wasserzufluss und den zugehörigen Zeitpunkt an. |
3P |
2.2 | Berechnen Sie den Wert des Wasserzuflusses zu Beginn der Beobachtung und wie viele Minuten vergehen, bis v diesen Wert erneut erreicht. | 4P |
2.3 | 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich noch 1000 m3 Wasser im Becken. Erläutern Sie, wie man die Wassermenge im Staubecken zum Zeitpunkt t=0 ermitteln kann und geben Sie diese Wassermenge näherungsweise an. |
3P |
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Aufgabe A3/2020
3 | Das Training einer Schwimmerin wird mit Videos ausgewertet. Abbildung 1 zeigt modellhaft die Geschwindigkeit v der Schwimmerin in Metern (m) pro Sekunde (s) in Abhängigkeit von der Zeit t in s. Ein Armzyklus dauert 12 s. |
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3.1 | Begründen Sie mit Hilfe von Abbildung 1, dass die Geschwindigkeit t ab dem Beobachtungsbeginn (t=0) durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann. |
3P | |
3.2 | Ermitteln Sie die Länge der Strecke, die gemäß des Modells während eines Armzyklus zurückgelegt wird. Bestimmen Sie damit die Zeit, die die Schwimmerin für 36 m benötigt. |
3P | |
3.3 | Zum Zeitpunkt t=24 beginnt die Schwimmerin ihren Endspurt. Dabei erhöht sich ihre Geschwindigkeit pro Sekunde zusätzlich um 0,05 m/s. Die Geschwindigkeit der Schwimmerin ist in Abbildung 2 dargestellt und wird ab t=24 durch eine Funktion vE modelliert. | ||
3.3.1 | Interpretieren Sie den Ansatz im Sachzusammenhang. | 2P | |
3.3.2 | Geben Sie einen Funktionsterm für die Funktion vE an. | 2P |
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Aufgabe A4/2020
4 | Die Abbildung zeigt die Aufsprungbahn einer Skisprungschanze. Der obere Teil der Aufsprungbahn wird durch f mit f(x)=0,000012x3-0,00378x2-0,27x+76 für 0 ≤ x ≤ 120 modelliert. Der untere Teil der Aufsprungbahn dient als Auslauf. Alle Angaben sind in Meter. |
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4.1 | Die Aufsprungbahn hat im kritischen Punkt K ihr größtes Gefälle. Weisen Sie nach, dass die x-Koordinate von K den Wert 105 besitzt und berechnen Sie den Winkel, den die Aufsprungbahn in K mit der Horizontalen einschließt. |
5P | |
4.2 | Die Flugbahn eines Skispringers wird durch die Parabel mit der Gleichung y=-0,00132x2-0,436x+80 modelliert. Prüfen Sie, ob die Flugbahn an der Stelle x=100 tangential in die Aufsprungbahn übergeht. |
3P | |
4.3 | Erläutern Sie im Sachkontext, welche Größe durch die Berechnung ermittelt wird. |
2P |
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Teil 3 Stochastik
Von zwei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A1 Stochstik
1 | In Baden-Württemberg tragen 3,5 % aller Zecken FSME-Viren in sich. Diese Viren werden durch Bisse der Zecken auf den Menschen übertragen. | ||
1.1 | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: | ||
E1 : | „Von 20 zufällig ausgewählten Zecken trägt keine einzige FSME-Viren in sich.“ | ||
E2 : | „Von 50 zufällig ausgewählten Zecken trägt höchstens eine FSME-Viren in sich.“ | ||
E3 : | „Von 100 zufällig ausgewählten Zecken tragen mindestens vier FSME-Viren in sich.“ | (6P) | |
1.2 | Prüfen Sie, ob folgende Aussage wahr ist: Das Risiko einer Übertragung der FSME-Viren auf den Menschen übersteigt in Baden-Württemberg erst dann 60 %, wenn man dort von mindestens 25 Zecken gebissen wird. | (3P) | |
1.3 | Die angegebene Wahrscheinlichkeit von 3,5 % mit der die Zecke FSME-Viren in sich trägt, stellt einen Durchschnittswert für ganz Baden-Württemberg dar. In allen Regionen wurden Stichproben genommen und die dortigen relativen Häufigkeiten berechnet. Je dunkler die Region in der Karte dargestellt ist, desto höher sind die relativen Häufigkeiten dafür, dass die Zecken FSME-Viren in sich tragen. Für die Regionen A und B wurde jeweils ein 95 %-Vertrauensintervall für die unbekannten Wahrscheinlichkeiten, mit der eine Zecke dort FSME-Viren in sich trägt, bestimmt. Für die Stichprobe in der Region A ist bekannt, dass 2000 Zecken getestet wurden. |
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1.3.1 | Bei der Stichprobe in der Region A stellte man fest, dass 58 Zecken FSME-Viren in sich tragen. Geben Sie das näherungsweise bestimmte 95 %-Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. |
(3P) | |
1.3.2 | Bei der Prüfung der Stichproben wird festgestellt, dass die Längen der Vertrauensintervalle für die beiden Regionen A und B übereinstimmen, in Region B jedoch eine größere relative Häufigkeit als in Region A vorliegt (siehe Karte). Erläutern Sie, was dies für den Umfang der Stichprobe in Region B bedeutet. |
(3P) |
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Aufgabe A2 Stochastik
2 | Bei einer großen Feier werden ein Hauptgericht mit Fleisch, ein vegetarisches Hauptgericht, sowie anschließend eine Nachspeise angeboten. Die Planer greifen auf langjährige Erfahrungswerte ihrer Vorgänger zurück, bei denen alle Gäste genau ein Hauptgericht wählen, jedoch nur 85 % der Gäste eine Nachspeise nehmen. 30 % aller Gäste entscheiden sich für das vegetarische Hauptgericht. Von den Gästen, die sich für ein vegetarisches Hauptgericht entschieden haben, nehmen anschließend 75 % auch eine Nachspeise. | ||
2.1 | Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Gast ein Hauptgericht mit Fleisch wählt und eine Nachspeise nimmt. Beziehen Sie Stellung zu folgender Aussage: „Von denjenigen Gästen, die eine Nachspeise nehmen, ist der Anteil der Gäste, die auch ein vegetarisches Hauptgericht wählen, größer als 27 %.“ |
(6P) | |
2.2 | Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: | ||
A: | Genau 240 Gäste wählen das vegetarische Hauptgericht. | ||
B: | Höchstens 250 Gäste wählen das vegetarische Hauptgericht. | ||
C: | Mehr als 220, aber höchstens 250 Gäste wählen das vegetarische Hauptgericht. | (6P) | |
2.3 | Bei einem Stichprobenumfang von 80 Gästen gaben 30 an, dass sie ein vegetarisches Hauptgericht wählen werden. Beurteilen Sie auf der Basis eines 95 % - Vertrauensintervalls, ob die Planer dem oben genannten langjährigen Erfahrungswert vertrauen können. |
(3P) |
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Teil 4 Vektorgeometrie
Die Aufgabe ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Vektorgeometrie" im Unterricht behandelt. |
Augabe A1 Vektorgeometrie
1 | Ein Architekt plant ein modernes Museum. Im Modell hat das Museum eine rechteckige Grundfläche mit den Eckpunkten A1(0|0|0), B1(10|0|0), C1(10|5|0), D1(0|5|0) und ein Dach, das aus den vier Eckpunkten A2(0|0|2), B2(10|0|2), C2(10|6|2) und D2(0|5,5|2,5) gebildet wird. Die von der Grundfläche zum Dach verlaufenden Kanten des Modells verbinden Punkte gleichen Buchstabens, z.B. ist A1 mit A2 verbunden. Eine Längeneinheit im Modell entspricht 10 Meter (m). |
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1.1 | Zeichnen Sie das Modell in ein geeignetes Koordinatensystem. | (4P) |
1.2 | Die Vorderseite des Modells (d.h. der Schnitt mit der Ebene x1=10) bildet ein Trapez. Diese Fläche soll zu 80 % aus einem Spezialglas bestehen, das 400 Euro pro m2 kostet. Berechnen Sie die hierfür zu kalkulierenden Kosten. |
(3P) |
1.3 | Die Kante teilt das Dach in zwei dreieckige Flächen. Bestimmen Sie den Winkel den diese beiden Flächen im Innern des Modells bilden. |
(P) |
1.4 | Im Punkt C2 soll ein Laser installiert werden, der den Laserstrahl in Richtung geradlinig in den Himmel schickt. Entsprechend soll im Punkt D2 ein weiterer Laser mit Laserstrahl in Richtung installiert werden. |
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1.4.1 | Geben Sie für jeden der beiden Laserstrahlen eine Gleichung der entsprechenden Geraden an. | (2P) |
1.4.2 | Bestimmen Sie die Höhe über der Grundfläche, in der diese beiden Laserstrahlen genau 212,5 m voneinander entfernt sind. | (2P) |
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Teil 4 Matrizen und Prozesse
Die Aufgabe ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Matrizen" im Unterricht behandelt. |
Aufgabe A1 Matrizen und Prozesse
1 | Eine Nudelmanufaktur stellt aus Wasser, Grieß und Spinat weiße und grüne Nudeln her, die in zwei verschiedenen Packungen „Pur“ und „Mix“ angeboten werden. Die folgenden Tabellen zeigen die verwendeten Mengen in Kilogramm (kg). Dabei geht man davon aus, dass 1 Liter (l) Wasser einem kg entspricht.
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1.1 | Berechnen Sie den jeweiligen Wert für a, b und c. | 3P | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 | Ein Auftrag besteht aus 2000 Packungen „Pur“ und 1000 Packungen „Mix“. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2.1 | Bestimmen Sie jeweils, wie viel kg Grieß bzw. Spinat für den Auftrag benötigt werden. | 2P | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2.2 | Die auf den Auftrag bezogenen Fixkosten betragen 200 Euro. Die variablen Herstellkosten pro Packung „Pur“ betragen 50 Cent (ct), pro Packung „Mix“ 40 ct. Der Preis pro Packung „Pur“ soll 50 % höher sein, als der Preis für „Mix“. Bestimmen Sie jeweils den Preis für eine Packung „Pur“ bzw. „Mix“, sodass der Verkaufserlös um 25 % höher ist als die Gesamtkosten. |
4P | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3 | Durch eine neue Rezeptur verändert sich der Bedarf für die Herstellung der beiden Nudelsorten wie folgt: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Im Lager befinden sich 2000 kg Grieß, die vollständig nach der neuen Rezeptur verarbeitet werden soll. Mindestens 40 % der hergestellten Nudeln sollen dabei grün sein. Ermitteln Sie alle möglichen Wassermengen, die hierbei verbraucht werden. |
6P |
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2020 Original Abituraufgaben Berufsgymnasium Teile 2 bis 4 |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 02. September 2022 02. September 2022