Mustersatz 6 Abituraufgaben BG Teile 2 bis 4 (mit Hilfsmitteln) |
Teil 2 Analysis
Die Aufgabe ist zu bearbeiten. |
Aufgabe A1
1. | Die Funktion f ist gegeben durch . | |
Das Schaubild von f ist K. | ||
1.1 | Beschreibe, wie K aus dem Schaubild mit der Gleichung y=sin(x) hervorgeht. Gib die Periode und die Wertemenge von f an. Zeichne K für -3≤x≤5. |
(8P) |
1.2 | Bestimme den Schnittwinkel der Tangente an K in zwei benachbarten Wendepunkten von K. | (3P) |
1.3 | Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von K schließen K und die x-Achse eine Fläche ein. Ermittle die Stammfunktion F von f, deren Schaubild durch den Punkt P(-1|0) verläuft. Dem Funktionswert F(3) entspricht der Inhalt einer Fläche in deiner Zeichnung aus 1.1. Schraffiere diese Fläche. Berechne den Inhalt dieser Fläche. |
(6P) |
1.4 | Das Schaubild der Funktion g mit g(x)=2e2x und die Gerade mit der Gleichung y=x+2 begrenzen ein Flächenstück. Dieses rotiert um die x-Achse. Notiere einen Ansatz zur Berechnung des dadurch erzeugten Rotationskörpers. |
(3P) |
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Teil 2 Anwendungsorientierte Analysis
Von drei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A2
2. | Die Gesamtkosten eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produktes werden durch die Funktion K mit | |
beschrieben. Dabei bezeichnen x die Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und K(x) die Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE). |
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2.1 | Prüfe, ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist. | (2P) |
2.2 | Der Verkaufspreis beträgt 50 GE. Der Erlös ist das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten. Berechne den maximalen Gewinn. |
(5P) |
2.3 | Um die Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher die minimalen Stückkosten anfallen, schlägt Tom vor, das Minimum der Ableitungs-Funktion zu ermitteln. Bewerte diesen Vorschlag und mache gegebenenfalls einen begründeten Gegenvorschlag. |
(3P) |
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Aufgabe A3
3. | In einem chemischen Experiment wird die Reaktionsgeschwindigkeit bei der Reaktion von Zink mit Salzsäure betrachtet. Man gibt Zink in verdünnte Salzsäure. Dabei entstehen unter anderem Zinkionen und Wasserstoff. Die Konzentration der Zinkionen in Abhängigkeit von der Zeit wird näherungsweise durch die Funktion c beschrieben: | |||||||||||||||
t ist hierbei die Zeit in Minuten, c(t) ist die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter. Die Reaktionsgeschwindigkeit (gemessen in ) ist die momentane Änderungsrate von c. | ||||||||||||||||
3.1 | Zeichne das Schaubild von c für die ersten 12 Minuten. Welchem Wert nähert sich die Konzentration im Laufe der Zeit an? |
(3P) | ||||||||||||||
3.2 | Gib die maximale Reaktionsgeschwindigkeit an. Die Messung wird abgebrochen, wenn die Reaktionsgeschwindigkeit unter 0,002 gefallen ist. Nach wie vielen Minuten ist dies der Fall? | (4P) | ||||||||||||||
3.3 | Bei dem Experiment wird der entstehende Wasserstoff in einem Standzylinder aufgefangen. Bei einer ersten Messung ergeben sich die folgenden Daten für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens:
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(3P) |
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Aufgabe A4
4. | Nach einem Unfall auf einer Autobahn wird die Überholspur gesperrt. Der Verkehr rollt auf der anderen Fahrspur mit verminderter Geschwindigkeit an der Unfallstelle vorbei. Infolge des hohen Verkehrsaufkommens bildet sich ein Stau mit zunächst zunehmender Länge. Nachdem die Unfallstelle geräumt ist, löst dich der Stau allmählich wieder auf. Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Minute in den Staubereich hineinfahren, ist q1. Die Anzahl der pro Minute aus dem Staubereich herausfahrenden Fahrzeuge ist q2. Die folgende Tabelle zeigt den Fahrzeugfluss q=q1-q2 in Abhängigkeit von der Zeit t. In einer vereinfachten Betrachtung gibt q die Zahl der Fahrzeuge pro Minute an, um die sich die Staulänge verändert.
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4.1 | Stelle q in Abhängigkeit von t grafisch dar. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und den Zeitpunkt, zu dem sich der Stau am schnellsten abbaut. Skizziere in einem Koordinatensystem die Anzahl der Fahrzeuge im Stau in Abhängigkeit von der Messzeit. Erläutere deine Vorgehensweise. |
(8P) | ||||||||||||||||||||
4.1 | Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses während der Messzeit kann durch folgende Funktion q beschrieben werden: q(t)=a(t+30)((t-b)(t-c)) mit t∈[0;60]. Bestimme die Konstanten a, b und c anhand der obigen Tabelle. |
(2P) |
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Teil 3 Stochastik
Von zwei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A1 Stochastik
1. | Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine zufällig ausgewählte Fliese ist erfahrungsgemäß „2. Wahl“ mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2. Jede Packung enthält 20 Fliesen. |
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1.1 | Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens 90 % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht. |
(4P) |
1.2 | Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. |
(2P) |
1.3 | Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert. Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert. Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert). Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist. |
(4P) |
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Aufgabe A2 Stochastik
2. | Die Polizei plant für das Spiel der beiden Fußballvereine Rot-Weiß Essen (RWE) und TuS Bottrop (TuS) einen Einsatz. Sie geht davon aus, dass 48 % der Zuschauer Fans von RWE und 30 % vom TuS sind. Keiner der Fans ist Fan von beiden Vereinen. Die restlichen Zuschauer werden als neutral eingestuft. Die Polizei weiß aus Erfahrung, dass 15 % aller Zuschauer Alkohol bei sich haben, unter den RWE-Fans sind es sogar 20 % und unter den TuS-Fans nur 10 %. |
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2.1 | Die Polizei kontrolliert vor dem Stadion vier zufällig ausgewählte Personen aus einer Gruppe von RWE-Fans. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Mindestens eine Person hat Alkohol dabei. B: Genau zwei Personen haben Alkohol dabei. C: Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei. |
(6P) |
2.2 | Wie viel Prozent der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Personen, die Alkohol dabeihaben, eine zufällig ausgewählte Person ein TuS-Fan ist? |
(5P) |
2.3 | Bei einem anderen Fußballspiel wurden 200 Zuschauer kontrolliert, von welchen 66 Alkohol bei sich hatten. Insgesamt sind 12000 Zuschauer im Stadion. Bestimme ein Intervall zum Vertrauensniveau von 90 % für die Anzahl an Zuschauern im Stadion, die Alkohol dabeihaben. |
(4P) |
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Teil 4 Vektorgeometrie
Die Aufgabe ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Vektorgeometrie" im Unterricht behandelt. |
Aufgabe A1 Vektorgeometrie
1. | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4|1|2), B(3|0|6) und C(11|8|10) gegeben. | |
1.1 | Die Punkte A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeige, dass dieses Dreieck einen rechten Winkel im Punkt B aufweist. |
(3P) |
1.2 | Ein Süßwarenhersteller beauftragt eine Werbefirma, eine neue Form für eine Verpackung zu kreieren. Die Werbefirma schlägt ein gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche vor. Berechne das Volumen der Verpackung für den Fall, dass A, B und C Eckpunkte der Grundfläche sind und die Deckfläche in der Ebene H: -x1+x2=17 liegt. |
(6P) |
1.3 |
Gegeben ist die Gerade g: . Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B. Bestimme den Abstand der beiden Geraden. |
(6P) |
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Teil 4 Matrizen und Prozesse
Die Aufgabe ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Matrizen" im Unterricht behandelt. |
Aufgabe A1 Matrizen | Prozesse
1. | Die BIKERIDE GmbH stellt die Rahmen der Fahrradmodelle City und Tour in Eigenfertigung her. Um sich von der Konkurrenz abzuheben, werden für diese Rahmen jedes Jahr neue modische Lackierungen produziert. Dabei werden in einem zweistufigen Produktionsprozess zunächst aus den drei Ausgangsfarben R1, R2 und R3 die drei Modefarben Z1, Z2 und Z3 gemischt und aus diesen dann die Lackierungen für die Modelle City (E1) und Tour (E2) hergestellt. Es gelten folgende Mengenbeziehungen (in ME) mit a,b .
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1.1 | Berechne die Zahlenwerte für a und b in den Tabellen mithilfe der Matrizenrechnung. | 3P | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 | Im Folgenden soll a=2 und b=30 sein. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2.1 | Die BIKERIDE GmbH benötigt für einen Auftrag 15 ME der Lackierung E1 und 18 ME der Lackierung E2. Berechne, wie viele ME der drei Modefarben Z1, Z2 und Z3 für diesen Auftrag erforderlich sind. |
3P | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2.2 | Für eine Sonderlackierung können im Rahmen eines alternativen Produktionsprozesses die Modefarben Z1, Z2 und Z3 auch ent-sprechend der folgenden Matrix gemischt werden: MRZ= Wegen Sanierungsarbeiten am Boden der Lagerhalle muss das Rohstofflager kurzfristig geräumt werden. Der Lagerbestand von R1 beträgt 600 ME, der von R2 beträgt 800 ME und von R3 befinden sich noch 1600 ME im Lager. Bestimme den ökonomisch sinnvollen Lösungsvektor, mit welchem der Lagerbestand im Rahmen des alternativen Produktionsprozesses ohne Rest aufgebraucht wird. Gib eine sinnvolle Lösung an. |
9P |
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Mustersatz 6 Abituraufgaben BG Teile 2 bis 4 (mit Hilfsmitteln) |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 19. August 2019 19. August 2019