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Die Grundfläche eines Hauptbahnhofs (Hbf.) wird durch ein Viereck mit den Eckpunkten B1(0|1|0), B2(3|0|0), B3(5|6|0) und B4(2|7|0) modelliert. Ein Tunnel startet im Punkt A(0|-11|0) und endet im Punkt S(2,5|3,5|-0,5). Eine Längen-einheit entspricht 100 Meter (m). Die Modellierung ist in der nebenstehenden (nicht maßstabsgetreuen) Skizzen veranschaulicht. |
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1.1 |
Zeigen Sie, dass die Grundfläche des Hbf. ein Rechteck ist. Berechnen Sie den Inhalt der Grundfläche in Quadratkilometer. |
(4P) |
1.2 |
Der Tunnel von A nach S wird modelliert durch die Strecke g mit . |
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1.2.1 |
Der Tunnel schließt mit der Ebene, in der die Grundfläche des Hbf. liegt, einen Winkel ein. Berechnen Sie diesen Winkel. |
(2P) |
1.2.2 |
Untersuchen Sie, ob für jeden Punkt des Tunnels der Sicherheitsabstand von mindestens 20 Meter zur Seite der Grundfläche des Hbf. eingehalten wird. |
(4P) |
1.3 |
Eine Ebene E besitzt die Darstellung . |
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1.3.1 |
Prüfen Sie, ob der Punkt S in der Ebene E liegt. |
(1P) |
1.3.2 |
Geben Sie eine Gleichung der Geraden k durch A an, die orthogonal zu E ist. Zur Planung eines weiteren Tunnels möchte man wissen, wo sich der Punkt A' (≠ A) auf k befindet, der denselben Abstand zu E hat wie der Punkt A. Bestimmen Sie die Koordinaten von A'. |
(4P) |