Die Abbildung stellt die Planskizze einer Landstraße dar. Der Verlauf dieser Landstraße wird durch den Graphen der Funktion f mit beschrieben. Die positive y-Achse beschreibt dabei die Himmelsrichtung Norden, die positive x-Achse die Himmelsrichtung Osten. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität. |
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a) |
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts P, der den nördlichsten Punkt der Landstraße darstellt. |
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An der Stelle x0=3 wechselt das Vorzeichen der Funktion f'' vom Negativen ins Positive. Beschreiben Sie, was dies für den Verlauf der Landstraße bedeutet. (Teilergebnis: P(2|1)). |
b) |
Ein Teil des Graphen der Funktion g mit stellt einen Fahrradweg dar, der zwei Punkte der Landstraße verbindet. Diese beiden Punkte werden durch A(a|f(a)) und B(b|f(b)) mit a < b dargestellt. Bestimmen Sie die Koordinaten von A und B (Teilergebnis: a=0 und b=1). Berechnen Sie und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. |
Im Folgenden wird auch der Höhenverlauf der Landstraße betrachtet. Stellt R(r|f(r)) einen Punkt auf der Landstraße dar, so gilt für seine Höhe h(r): |
h(r)=u(f(r)) mit |
h(r) in Kilometer über der Meereshöhe. |
c) |
Zeigen Sie, dass der westlichste Punkt der Landstraße auf einer Höhe von etwa 1890 Meter liegt. Begründen Sie, dass kein Punkt der Landstraße höher als 2000 Meter liegt. Der am höchsten gelegene Punkt auf der Landstraße wird durch den Punkt S auf dem Graphen von f dargestellt. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. |
d) |
Zum Abfluss von Regenwasser sind die durch P(2|1) und Q(0|f(0)) dargestellten Punkte auf der Landstraße durch ein geradlinig verlaufendes Rohr verbunden. Berechnen Sie das Gefälle dieses Rohrs. |