Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit , die für 0≤t≤10 die momentane Änderungsrate des Wasservolumens in einem Becken beschreibt (t in Stunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) in Kubikmeter pro Stunde). |
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a) |
Geben Sie die momentane Änderungsrate des Wasservolumens eine Stunde nach Beobachtungsbeginn an. |
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Begründen Sie, dass das Wasservolumen in den ersten beiden Stunden nach Beobachtungsbeginn niemals abnimmt. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens besitzt ein Minimum. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem dieses Minimum angenommen wird. (Teilergebnis: |
Die Funktion F mit {latex}\dpi{105}\fn_cm F(t)=t^2 \cdot e^{2-t} ist eine Stammfunktion von f. Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn enthält das Becken 6 m3 Wasser. |
b) |
Ermitteln Sie das Wasservolumen, das sich zu Beobachtungsbeginn im Becken befand. Es gibt einen 45-Minuten-Zeitraum, in welchem das Wasservolumen um genau einen Kubikmeter zunimmt. Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung den Beginn dieses Zeitraums darstellt. |
c) |
Über eine Schaltuhr kann ein Zeitpunkt t0 gewählt werden, so dass die momentane Änderungsrate des Wasservolumens nur bis t0 durch die Funktion t beschrieben wird und danach konstant auf dem Wert f(t0) bleibt. Zeigen Sie, dass t0 nicht so gewählt werden kann, dass das Becken sieben Stunden nach Beobachtungsbeginn leer ist. |