1.1 |
Eine Polynomfunktion p ist gegeben durch a∙x3+b⋅x2 für , wobei a≠0 ist. |
|
1.1.1 |
Bestimmen Sie die Werte von a und b, sodass die Punkte P(-1|1) und Q(1|0) auf dem Schaubild von p liegen. |
(3P) |
1.1.2 |
Nun gilt: b=-a. Untersuchen Sie, ob es eine negative Nullstelle von p gibt. |
(2P) |
1.2 |
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x-1+e-x für . Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild K von f, sowie dessen Asymptote g mit der Gleichung y=x-1. |
|
|
|
|
1.2.1 |
Geben Sie den Punkt auf g an, der den kleinsten Abstand zum Tiefpunkt T(0|f(0)) von K hat, und ermitteln Sie dessen Abstand. |
(2P) |
1.2.2 |
Das Schaubild H einer Funktion h entsteht durch Verschiebung von K. Der Tiefpunkt von H liegt bei (1|-1). Berechnen Sie einen Funktionsterm von h. |
(2P) |
1.2.3 |
Begründen Sie, dass die folgenden Aussagen wahr sind:
(1) |
K besitzt keinen Wendepunkt. |
(2) |
Im Intervall [1,841;1,842] liegt ein x0, sodass f(x0)=1 gilt. |
(3) |
Es gibt keine Normale an K, die g senkrecht schneidet. |
|
(7P) |
1.2.4 |
Das Schaubild K, die beiden Geraden mit der Gleichung x=-c und x=c mit c > 0 und die Gerade g umschließen eine Fläche. Bestimmen Sie c, sodass der Inhalt dieser Fläche den Wert 2 hat. |
(4P) |