Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma ABCDEF mit A(0|0|0), B(8|0|0), C(0|8|0) und D(0|0|4).
a) |
Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte B und F. |
b) |
Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten AD bzw. BC. Der Punkt K(0|k2 |4) liegt auf der Kante DF. Bestimmen Sie k2 so, dass das Dreieck KMP in M rechtwinklig ist. |
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Gegeben ist die Ebene E: 3x2+4x3=5. |
c) |
Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem. |
d) |
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt Z(1|6|3) und Radius r=7 die Ebene E schneidet. |
e) |
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(4|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|4) das Dreieck ABC fest, welches in der Ebene E: x1+x2+x3=4 liegt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. |
Das Dreieck ABC stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt P(2|2|3) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht. Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor beschrieben. |
f) |
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts R, in dem g die Ebene E schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. |
Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt R dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt Q(0|0|1) beschrieben wird (vgl. Abbildung). |
g) |
Zeigen Sie, dass die Punkte P und Q bezüglich der Ebene E symmetrisch sind. |
h) |
Das Lot zur Ebene E im Punkt R wird als Einfallslot bezeichnet. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene F liegt. |
i) |
Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt. |