Abituraufgaben anwendungsorientierte Analysis BG 2017-2019 (Teil 2) |
Dokument mit 28 Aufgaben |
Abiturjahr 2017
Aufgabe A2/2017 (3 Teilaufgaben)
Im Verlauf von etwa 30 Tagen ändert der Mond beständig sein Erscheinungsbild. Zum Zeitpunkt t=0 sei zunehmender Halbmond (siehe Abbildung). Der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes wird modellhaft durch die Funktion A mit beschrieben. Dabei steht t für die Tage seit Bebachtungsbeginn, beispielsweise ist t=1 das Ende des ersten Tages. Bei Vollmond hat der beleuchtete Anteil den Wert 1. |
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2.1 | Skizzieren Sie das Schaubild von A. Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Frage, die durch Lösen der Gleichung A(t)=0,95 beantwortet werden kann. |
4P |
2.2 | Ermitteln Sie den durchschnittlichen Anteil der von Beobachtngsbeginn bis zu Ende des fünfzehnten Tages beleuchtet wird. | 4P |
2.3 | Das Modell soll nun zu einem Modell abgeändert werden, sodass der Zeitpunkt t=0 der Beleuchtung bei Vollmond entspricht. Bestimmen Sie hierzu einen Wert für c, sodass die Funktion mit diesen Sachverhalt modelliert. |
2P |
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Aufgabe A3/2017 (3 Teilaufgaben)
Die folgende Abbildung zeigt die Modellierung eines sogenannten Produktionszyklus. Darin sind die monatlichen Verkaufszahlen V eines Produktes (z.B. PKW) in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. Zum Zeitpunkt t=0 beginnt die Einführung des Produktes auf dem Markt. Nach sechs Jahren wird das Produkt vom Markt genommen. Der Produktlebenszyklus wird lückenlos in vier Phasen unterteilt:
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3.1 | Geben Sie für jede der vier Phasen das entsprechende Zeitintervall an. | 4P | |||||||||||||||||||||||
3.2 | Ermitteln Sie die Anzahl der verkauften Produkte in den gesamten sechs Jahren. | 2P | |||||||||||||||||||||||
3.3 | Im Folgenden ist V die Funktion der monatlichen Verkaufszahlen in Abhängigkeit von der Zeit t. Formulieren Sie jeweils einen mathematischen Ansatz, um folgende Fragen mithilfe von V bestimmen zu können:
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4P |
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Aufgabe A4/2017 (2 Teilaufgaben)
In Schulversuchen wird die Lösung eines chemischen Stoffes mit Salzsäure versetzt. Dadurch zerfällt der Stoff und dessen Konzentration c sinkt im Laufe der Zeit t. v ist die momentane Änderungsrate der Konzentration. Im Folgenden sind c in Mol pro Liter und die Zeit t in Sekunden (s) angegeben. |
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4.1 | In einem ersten Versuch wird die Konzentration c in Abängigkeit von t modelliert durch c(t)=0,05∙e-0,017t; t≥ 0. | |
4.1.1 | Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem nur noch 10 % der Anfangskonzentration vorhanden sind. Geben Sie den Wert von v drei Minuten nach Versuchsbeginn an. In welcher Einheit wird v gemessen? |
4P |
4.1.2 | Eine der unten stehenden drei Abbildungen zeigt das Schaubild der Funktion c. Entscheiden Sie welche. Erläutern Sie, warum die beiden anderen Schaubilder nicht in Frage kommen. | 2P |
4.2 | Unter anderen Bedingungen berechnet sich die momentane Änderungsrate v zum Zeitpunkt t durch v(t)=-0,007⋅e-0,07t; t≥ 0. Die Anfangskonzentration des Stoffes ist dann 0,125 mol/l. Bestimmen Sie, wie viel Prozent der Anfangskonzentration langfristig übrig bleibt. |
4P |
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Abiturjahr 2018
Aufgabe A2/2018(3 Teilaufgaben)
Um Zugvögel beim Fliegen zu beobachten setzen Forscher spezielle, sehr leichte Drohnen ein. Die Drohne startet vom Boden aus und fliegt nach starker Beschleunigung hinter den Vögeln her. Die Geschwindigkeit der Drohne kann modellhaft durch die Funktion v mit | ||
v(t)=25-25⋅e-0,0322t | ||
beschrieben werden. Dabei ist t die Zeit in Sekunden (s) seit dem Start der Drohne (t=0). v(t) gibt die Geschwindigkeit in (m/s) zum Zeitpunkt t an. | ||
2.1 | Zeichnen Sie das Schaubild von v für 0 ≤ t ≤ 100. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde, an die sich die Geschwindigkeit der Drohne nach diesem Modell annähert. |
4P |
2.2 | Berechnen Sie . Interpretieren Sie das Integral im Sachzusammenhang. |
3P |
2.3 | Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit entspricht der Beschleunigung dieser Drohne. Begründen Sie, dass die Drohne beim Start die größte Beschleunigung hat. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Beschleunigung geringer als 0,5 m/s2 ist. |
3P |
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Aufgabe A3/2018(2 Teilaufgaben)
Für eine Gartenschau sollen verschiedene Pflanzenkübel mit einer Höhe von jeweils 2 Meter aus Kunststoff gegossen werden. Die Abbildung unten zeigt beispielhaft den halben Querschnitt eines um 90 ° gekippten Pflanzenkübels mit seinem Pflanzeinsatz. | ||
Der Kübel wird durch Rotation der grauen Fläche um die x-Achse beschrieben. Die Mantelfläche des Kübels wird hierbei mit Hilfe des Schaubilds Kf der Funktion f erzeugt (in der Abbildung gepunktet). Analog wird die Mantelfläche des Pflanzeinsatzes mit Hilfe des Schaubilds Kg der Funktion g erzeugt (in der Abbildung gestrichelt). Alle Angaben sind in Meter (m). |
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3.1 | Zur Modellierung eines bestimmten Pflanzenkübels werden die Funktionen f und g mit und verwendet. Dieser Pflanzenkübel wird aus Kunststoff der Dichte 0,9 Tonnen pro Kubikmeter gefertigt. Berechnen Sie die Masse dieses Pflanzkübels in Tonnen. |
5P |
3.2 | Für einen anderen Pflanzenkübel wird die Funktion f mit f(x)=ax3+bx2+1; 0 ≤ x ≤ 2 verwendet. Prüfen Sie, ob es Werte für a und b gibt, sodass in einer Höhe von 2 m der Radius des Pflanzenkübels 1,5 m ist und der kleinste Radius in einer Höhe von 1 m vorliegt. |
5P |
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Aufgabe A4/2018(4 Teilaufgaben)
Ein Wetterballon startet auf Meereshöhe und sendet mit ansteigender Höhe Daten des entsprechenden Luftdrucks. Bei seinem Flug wird der vom Ballon gemessene Luftdruck p in hPa (Hektopascal) in Abhängigkeit von der Höhe h (in km) näherungsweise durch die Funktion p mit p(h)=1013∙e-0,126∙h; 0 ≤ h ≤11 modelliert. | ||
4.1 | Bestimmen Sie den Luftdruck auf Meereshöhe. Ermitteln Sie die Höhe bei der ein Luftdruck von 787 hPa gemessen wird. |
3P |
4.2 | Bestimmen Sie die prozentuale Abnahme des Luftdrucks, wenn die Höhe um einen Kilometer zunimmt. | 2P |
4.3 | Berechnen Sie den mittleren Wert des Luftdrucks, dem der Ballon bei seinem Aufstieg von Meereshöhe bis auf 11 km Höhe ausgesetzt ist. | 3P |
4.4 | Interpretieren Sie die folgende Näherungsformel im Sachzusammenhang: ; 0 ≤ h ≤ 5,5. |
2P |
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Abiturjahr 2019
Aufgabe A2/2019 (4 Teilaufgaben)
Ein großer Anteil des Stockstoffoxids (NO2) in der Luft wird durch Verbrennungsmotoren im Straßenverkehr erzeugt. An einer Messstation in einer süddeutschen Stadt wird die NO2-Konzentration in der Luft täglich aufgezeichnet. Die Abbildung zeigt die an einem Werktag im Herbst zwischen 5 Uhr morgens und 21 Uhr abends gemessenen NO2-Datenwerte in Mikrogramm pro Kubikmeter Luft (μg/m3 ). | ||
2.1 | Beschreiben Sie die Entwicklung der NO2-Konzentration im Tagesverlauf und interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang. | 2P |
2.2 | Die Funktion f mit ; 5 ≤ t ≤ 21 modelliert den Wert der NO2-Konzentration f(t) in μg/m3 zum Zeitpunkt dieses Tages. | |
2.2.1 | Beurteilen Sie folgende Aussage: „Das Maximum von f weicht vom tatsächlich gemessenen maximalen Wert der NO2-Konzentration um mehr als 10 % ab.“ | 2P |
2.2.2 | Bestimmen Sie unter Verwendung des Modells f die beiden Zeitpunkte, an denen die Zunahme der NO2-Konzentration am größten ist. | 3P |
2.2.3 | Zum Zeitpunkt der Messung galt für die NO2-Konzentration in der Luft der Grenzwert von 40 μg/m3. Bestimmen Sie mithilfe von f die Uhrzeit auf die Minute genau, zu der dieser Grenzwert erstmals erreicht wurde. |
3P |
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Aufgabe A3/2019 (4 Teilaufgaben)
Ein Ingenieurbüro plant den Bau eines 15 Meter (m) langen, geraden Kanals, der einen gleichbleibenden Querschnitt aufweist. Das Koordinatensystem wird im Modell so gelegt, dass T(0|0) den tiefsten Punkt des Querschnitts darstellt (siehe Abbildung). Die Randkurve des Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion f mit , wobei x im Bereich der Breite des Kanals liegt und ebenso wie f(x) in Meter gemessen wird. Die Abbildung stellt eine nicht maßstabsgetreue Skizze des Schaubilds von f dar. | ||
3.1 | Berechnen Sie den höchstmöglichen Wasserstand und die Breite des Kanals. | 3P |
3.2 | Das Wasser steht im Kanal 2 m hoch. | |
3.2.1 | Zeigen Sie, dass der Wasserspiegel eine Breite von genau 4 m einnimmt. | 1P |
3.2.2 | Berechnen Sie den Wert von . Deuten Sie diesen Term und den berechneten Wert im Sachzusammenhang. |
3P |
3.2.3 | Ein Laser in der Position T wird so eingestellt, dass er einen Laserstrahl erzeugt, der in der Ebene des Kanalquerschnitts verläuft und dabei die rechte Böschung an einem Punkt B(u│f(u)) mit u > 0 berührt. Bestimmen Sie die Steigung a der Geraden mit der Gleichung y=a∙x, die diesen Lichtstrahl modelliert. |
3P |
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Aufgabe A4/2019 (3 Teilaufgaben)
Ein Unternehmen bietet seinen Kunden für eine kurze Testphase ein neues Produkt an. Für den nächsten Produktionszeitraum sind maximal 9 Mengeneinheiten (ME) des Produkts geplant. Der Verkaufspreis je Mengeneinheit wird mit 10 Geldeinheiten (GE) kalkuliert. Der erzielte Erlös ist das Produkt aus dem Verkaufspreis und der Menge. Die Gesamtkosten können durch die Funktion K mit der Funktionsgleichung |
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K(x)=0,2x3-x2+4x+8 | ||
beschrieben werden, mit x in ME, K in GE. Der Gewinn wird berechnet als Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. |
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4.1 | Zeichnen Sie das Schaubild der Erlös- und Gesamtkostenfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem. Markieren Sie darin die Gewinnzone, d.h. die Produktionsmengen, für die kein Verlust gemacht wird. | 4P |
4.2 | Berechnen Sie den maximalen Gewinn. | 4P |
4.3 | Claus stellt fest, dass an der Stelle folgende Bedingungen erfüllt sind: | |
(1) K''(x1)=0 ∧ K'''(x1)≠0, (2) . Interpretieren Sie diese Bedingungen im Sachzusammenhang. |
2P |
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Abituraufgaben anwendungsorientierte Analysis BG 2017-2019 (Teil 2) |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 22. August 2022 22. August 2022