Abituraufgaben anwendungsorientierte Analysis BG 2020-2021 (Teil 2) |
Dokument mit 21 Aufgaben |
Abiturjahr 2020
Aufgabe A2/2020 (3 Teilaufgaben)
2 | Der Wasserzufluss bzw. der Wasserabfluss eines Staubeckens wird über 24 Stunden hinweg beobachtet und durch die Funktion v mit modelliert. Hierbei gibt t die Zeit seit Beginn der Beobachtung (t = 0) in Stunden an. v(t) wird in Kubikmeter pro Stunde (m3/h) gemessen. Bei Wasserzufluss ist v(t) positiv und bei Wasserabfluss ist v(t) negativ. Die Abbildung zeigt das Schaubild von v. | |
2.1 | Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage: „Es gibt einen Zeitpunkt, an dem 280 m3/h abfließen.“ Geben Sie den maximalen Wasserzufluss und den zugehörigen Zeitpunkt an. |
3P |
2.2 | Berechnen Sie den Wert des Wasserzuflusses zu Beginn der Beobachtung und wie viele Minuten vergehen, bis v diesen Wert erneut erreicht. | 4P |
2.3 | 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich noch 1000 m3 Wasser im Becken. Erläutern Sie, wie man die Wassermenge im Staubecken zum Zeitpunkt t=0 ermitteln kann und geben Sie diese Wassermenge näherungsweise an. |
3P |
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Aufgabe A3/2020 (3 Teilaufgaben)
3 | Das Training einer Schwimmerin wird mit Videos ausgewertet. Abbildung 1 zeigt modellhaft die Geschwindigkeit v der Schwimmerin in Metern (m) pro Sekunde (s) in Abhängigkeit von der Zeit t in s. Ein Armzyklus dauert 12 s. |
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3.1 | Begründen Sie mit Hilfe von Abbildung 1, dass die Geschwindigkeit t ab dem Beobachtungsbeginn (t=0) durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann. |
3P | |
3.2 | Ermitteln Sie die Länge der Strecke, die gemäß des Modells während eines Armzyklus zurückgelegt wird. Bestimmen Sie damit die Zeit, die die Schwimmerin für 36 m benötigt. |
3P | |
3.3 | Zum Zeitpunkt t=24 beginnt die Schwimmerin ihren Endspurt. Dabei erhöht sich ihre Geschwindigkeit pro Sekunde zusätzlich um 0,05 m/s. Die Geschwindigkeit der Schwimmerin ist in Abbildung 2 dargestellt und wird ab t=24 durch eine Funktion vE modelliert. | ||
3.3.1 | Interpretieren Sie den Ansatz im Sachzusammenhang. | 2P | |
3.3.2 | Geben Sie einen Funktionsterm für die Funktion vE an. | 2P |
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Aufgabe A4/2020 (3 Teilaufgaben)
4 | Die Abbildung zeigt die Aufsprungbahn einer Skisprungschanze. Der obere Teil der Aufsprungbahn wird durch f mit f(x)=0,000012x3-0,00378x2-0,27x+76 für 0 ≤ x ≤ 120 modelliert. Der untere Teil der Aufsprungbahn dient als Auslauf. Alle Angaben sind in Meter. |
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4.1 | Die Aufsprungbahn hat im kritischen Punkt K ihr größtes Gefälle. Weisen Sie nach, dass die x-Koordinate von K den Wert 105 besitzt und berechnen Sie den Winkel, den die Aufsprungbahn in K mit der Horizontalen einschließt. |
5P | |
4.2 | Die Flugbahn eines Skispringers wird durch die Parabel mit der Gleichung y=-0,00132x2-0,436x+80 modelliert. Prüfen Sie, ob die Flugbahn an der Stelle x=100 tangential in die Aufsprungbahn übergeht. |
3P | |
4.3 | Erläutern Sie im Sachkontext, welche Größe durch die Berechnung ermittelt wird. |
2P |
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Abiturjahr 2021
Aufgabe A2/2021 (4 Teilaufgaben)
2 | Bei der Untersuchung einer Gletscherspalte eines Alpengletschers wurden im Jahr 2012 im Gletschereis nur wenige Zentimeter über dem Grund des Gletschers Ausrüstungsteile gefunden, die im Jahr 1950 von Bergsteigern im Gletschereis zurückgelassen wurden. Im Laufe der Zeit hatten sich die Ausrüstungsteile mit dem Gletscher talwärts bis zur Fundstelle bewegt. Durch eine dort in den Gesteinsboden verankerte Eisenstange wurde der Fundort der Ausrüstungsteile markiert. Der Ort, an dem der Gletscher talwärts endet, lag 2012 noch 7 Kilometer (km) vom Fundort der Ausrüstungsteile entfernt. Aufgrund der Klimaerwärmung der letzten Jahrzehnte zieht sich das Gletscherende zurück. Es bewegt sich um durchschnittlich 200 Meter (m) pro Jahr in Richtung des Fundorts. |
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2.1 | Betrachtet wird der Abstand des Gletscherendes zum Fundort der Ausrüstung. Begründen Sie, dass dieser Abstand bezogen auf das Jahr 2012 durch die Gerade mit der Gleichung y=-0,2x+7 beschrieben werden kann. Geben Sie die Bedeutung von x im Sachkontext an. |
3P |
2.2 | Die Funktion v mit v(t)=7,56⋅10-6 t2-2,27⋅10-4 t +0,11; t > 0 modelliert die Geschwindigkeit (in km pro Jahr) des Gletschers bei seiner Bewegung talwärts. Hier entspricht t=0 dem Jahr 1950. Das Schaubild von v ist in der Abbildung dargestellt. | 4P |
2.2.1 | Bestimmen Sie v(71) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachkontext. | 2P |
2.2.2 | Bei der Bergung der Ausrüstungsteile wurden kleine Ausrüstungsteile übersehen, sodass diese im Eis zurückblieben. Formulieren Sie eine Frage im Sachkontext, die durch Lösen der Gleichung mit x>0 beantwortet werden kann. |
2P |
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Aufgabe A3/2021 (4 Teilaufgaben)
3. | Ein Fadenpendel besteht aus einem Faden, an dessen unterem Ende eine Kugel befestigt ist. Das Pendel wird in Position P1 gebracht und zum Zeitpunkt t=0 losgelassen. Anschließend führt es eine Schwingung aus. Die Geschwindigkeit der Kugel wird modelliert durch v mit v(t)=0,5⋅sin(5t) mit t≥0. Dabei wird t die Zeit in Sekunden (s) und v(t) wird in Meter pro Sekunde (m/s) angegeben. |
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3.1 | Bestimmen Sie die Zeit, die vom Zeitpunkt des Loslassens an vergeht, bis die Kugel zum ersten Mal den Umkehrpunkt P2 erreicht. | 2P |
3.2 | Die Beschleunigung der Kugel ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Bestimmen Sie die momentane Beschleunigung der Kugel 0,2 Sekunden nach dem Loslassen sowie die durchschnittliche Beschleunigung innerhalb der ersten 0,2 Sekunden. | 3P |
3.3 | Die Funktion b mit b(t)=-0,1⋅cos(5t); t≥0 modelliert die Auslenkung des Pendels, wobei b(t) die „Länge“ des Bogens vom tiefsten Punkt bis zur Position der Kugel zum Zeitpunkt t ist (siehe Abbildung). Negative Werte von b(t) bedeuten dabei Auslenkungen nach links (in Richtung von P1), positive Werte bedeuten Auslenkungen nach rechts. |
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3.3.1 | Zeigen Sie, wie man ausgehend von v auf die Funktion b gelangt. | 3P |
3.3.2 | Die Länge des Fadenpendels ist 0,4 m. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel α zum Zeitpunkt des Loslassens (siehe Abbildung). |
2P |
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Aufgabe A4/2021 (4 Teilaufgaben)
4. | Marie und Pierre Curie entdeckten 1898 gemeinsam das radioaktive Isotop Radium 226. Für dieses ist bekannt, dass die Halbwertszeit etwa 1600 Jahre beträgt. Die Halbwertszeit gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis von einer gegebenen Menge eines zerfallenden Stoffes nur noch die Hälfte vorhanden ist. Die Kerne von Radium zerfallen und geben dabei die sogenannte α-Strahlung ab. Der Zerfall der Radiumkerne kann mit der Funktion f mit f(t)=c⋅ekt; t≥0 beschrieben werden. Dabei sind c > 0 und k < 0 geeignete Konstanten und f(t) die zum Zeitpunkt t in Jahren nach Beobachtungsbeginn t = 0 vorhandene Masse von Radium 226 in Gramm (g). |
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4.1 | Ermitteln Sie den Wert von k sowie die Masse einer Probe zu Beobachtungsbeginn, falls 20 Jahre danach noch 99,14 g Radium vorhanden sind. | 3P |
4.2 | Erläutern Sie im Sachkontext, welcher Zeitpunkt t mit dem Ansatz | |
bestimmt werden kann. | 2P | |
4.3 | Es wird nun eine andere Probe betrachtet. Für die Modellierung von deren Zerfall gelten: c=150 und k=-4,332⋅10-4. | |
4.3.1 | Geben Sie den Zeitpunkt an, an dem am meisten Radium zerfällt und bestimmen Sie zu diesem Zeitpunkt die Änderungsrate von f. | 2P |
4.3.2 | Beweisen Sie, dass die folgende Aussage wahr ist: „Zu jedem beliebigen Zeitpunkt t gilt: Der Anteil, der a Jahre später von der Masse f(t) noch vorhanden ist, hängt nur von a ab.“ |
3P |
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Abituraufgaben anwendungsorientierte Analysis BG 2020-2021 (Teil 2) |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 22. August 2022 22. August 2022