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WIKI zu logarithmischen Gleichungen |
1. Einführung
| Mit der Beziehung loga b=c lassen sich, – ähnlich der Prozentrechnung – drei verschiedene Arten von Bestimmungsgleichungen aufstellen, und zwar: | ||||
| 1. Art | 2. Art | 3. Art | ||
| Die Frage nach dem Logarithmuswert führt auf eine Gleichung der Form | Die Frage nach der Basis führt auf eine Gleichung der Form | Die Frage nach dem Numerus führt auf eine Gleichung der Form | ||
| loga b=x | logx b=c | loga x=c | ||
| log2 16=x | logx 9=2 | log5 x=4 | ||
| Bei Gleichungen der 1. Art kann für x grundsätzlich jede reelle Zahl stehen, weil Logarithmen jede reelle Zahl annehmen können. | Bei Gleichungen der 2. Art können für x nur positive reelle Zahlen ungleich 1 stehen, weil die Basis eines Logarithmus stets positiv und ungleich 1 sein muss. | Bei Gleichungen der 3. Art können für x nur positive reelle Zahlen stehen, weil der Logarithmus nur von positiven Zahlen gebildet werden kann. | ||
Die Definitionsmenge  der Gleichung loga b=x ist also die Menge der reellen Zahlen: Gleichungen der 1. Art sind praktisch schon nach x aufgelöst. |
Die Definitionsmenge der Gleichung logx b=c ist also die Menge der positiven reellen Zahlen ohne 1:  Gleichungen der 2. Art führen auf eine Gleichung der Form |
Die Definitionsmenge der Gleichung loga x=c ist also die Menge der positiven reellen Zahlen  Gleichungen der 3. Art führen auf eine Gleichung der Form |
||
 x=log2 16  x = 4 |
xb=c logx 9=2 x2 = 9 x1 = 3 x2 = -3 |
x=ac log5 x=4 x = 54 x = 625 |
||
| Da 4 in der Definitions-menge enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: | Da -3 in der Definitions-menge nicht enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: | Da 625 in der Definitions-menge enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: | ||
 . |
 . |
 . |
||
2. Logarithmische Gleichungen lösen
| Im Folgenden werden wir uns hauptsächlich mit Bestimmungsgleichungen beschäftigen, die im weitesten Sinne zur 3. Art gehören, wie beispielsweise | |||
| • | log3(3x+5)=5 | • | log2 (x2-1)=3 |
| • | log x+log 3=log 5 | • | log5 (2x+6)-log5 (x+3)=2 |
| • | 2⋅log3 x =log3 (x+6) |
• | log2 x+log2 5=1+log2 (1+x2) |
| Allen diesen Bestimmungsgleichungen gemeinsam ist, dass sie die Unbekannte x im Numerus von Logarithmen enthalten. Derartige Gleichungen bezeichnen wir als logarithmische Gleichungen. | |||
| Das Lösen logarithmischer Gleichungen erfolgt in 4 Schritten. | |||
| 1. Schritt: | |||
| Da der Numerus eines Logarithmus nicht negativ werden kann, müssen wir zunächst die Definitionsmenge aufstellen, also ausschließen, für welche Werte von x die Gleichung keine Lösung hat. | |||
| 2. Schritt: | |||
| Wir Entlogarithmieren, d.h., wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit der Basis des Logarithmus. Anschließend lösen wir die Gleichung entsprechend den Äquivalenzregeln nach x auf. | |||
| 3. Schritt: | |||
| Wir schreiben die Lösungsmenge auf, prüfen zuvor jedoch, ob eventuell ein x-Wert über die Definitionsmenge ausgeschlossen ist. | |||
| 4. Schritt: | |||
| Wir setzen den / die gefundenen x-Werte in die Ausgangsgleichung ein und machen die Probe. | |||
| Wir betrachten uns die nachfolgenden | |||
2.1. Beispiele
2.1.1. Beispiel 1
| log3(4x+5)=5 | |||||
| 1. | Schritt: | 4x+5>0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
 |
||||
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||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren und nach x auflösen: | log3 (4x+5)=5 |
||||
|
4x+5=35 | -5 | |||
| 4x=243-5 | :4 | ||||
| 3. | Schritt: |  |
|||
Die Lösungsmenge  aufschreiben |
x=59,9 |
||||
|
 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Probe | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log3 (4∙59,5+5)= | 5 | |||
| log3 (238+5)= | |||||
| log3 (243)=5 |
2.1.2. Beispiel 2
| Gelegentlich führt der Lösungsweg einer logarithmischen Gleichung auch über eine quadratischer Gleichung. | |||||
| log6(x2-64)=2 | |||||
| 1. | Schritt: | x2-64>0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
x > 8 ∨ x < -8 | ||||
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||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren und nach x auflösen: | log6 (x2-64)=2 |
||||
|
x2-64=62 | +64 | |||
| x2=36+64 | |||||
| 3. | Schritt: | x2=100 | |||
| Die Lösungsmenge aufschreiben |
x1=10 x2=-10 |
||||
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||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Probe 1. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
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log6 (102-64)= | 2 | |||
| log6 (100-64)= | |||||
| log6 (36)=2 | |||||
| Probe 2. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log6 ((-10)2-64)= | 2 | |||
| log6 (100-64)= | |||||
| log6 (36)=2 | |||||
2.1.3. Beispiel 3
| Häufig kommt es bei logarithmischen Gleichungen vor, dass die Bestimmung der Definitionsmenge schwieriger ist als die Bestimmung der Lösungsmenge. In einem solchen Fall können wir auf die Angabe der Definitionsmenge verzichten. Wir müssen aber dann unbedingt eine Probe machen! | |||||
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| 1. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren und nach x auflösen: |  |
||||
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⋅(x+2) | |||
| 3x+6=32⋅(x+2) | -3x-64 | ||||
| -58=29x | :29 | ||||
| x=-2 | |||||
| 2. | Schritt: | linke Seite | rechte Seite | ||
Vor dem Aufschreiben der Lösungsmenge ist die Probe fällig. |
 |
5 | |||
 |
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| 3. | Schritt: | ||||
Aufschreiben der Lösungsmenge: |
Setzt man -2 für x in die Ausgangs-gleichung, dann erhält man einen Bruch mit dem Nenner 0. Folglich kann -2 keine Lösung der gegebenen Gleichung sein. Da die Auflösung nach x außer -2 keine weiteren Lösungen anbietet, ist die Lösungsmenge die leere Menge  . |
||||
3. Logarithmische Gleichungen mit mehr als einem Logarithmus
| Häufig treten in einer logarithmischen Gleichung zwei oder mehrere Logarithmen auf. In diesem Falle müssen wir mithilfe der Logarithmengesetze die Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen. |
3.1. Beispiel 5
| log2(3x-1)=2+log2(x-3) | |||||
| 1. | Schritt: | 3x-1 > 0 ∧ x-3 > 0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
 und x > 3 |
||||
|
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||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Beide Logarithmen auf eine Seite bringen: |
log2(3x-1)-log2(x-3)=2 | ||||
| 3. | Schritt: | ||||
| Die Logarithmen nach den Logarithmusgesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen. |
 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren |
 |
||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Nach x auflösen |
3x-1=4x-12  |
||||
| 6. | Schritt: | ||||
Die Lösungsmenge  aufschreiben |
 |
||||
| 7. | Schritt: | ||||
| Probe an der Ausgangsgleichung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log2 (3\cdot11-1)= | 2+log2(11-3)= | |||
| log2 (32)= | 2+log2(8)=2+3= | ||||
| 5 | 5 |
4. Fehlerentstehung bei logarithmischen Gleichungen
| Beim Zusammenfassen von mehreren Logarithmen zu einem Logarithmusausdruck können mathematische Fehler entstehen, dergestalt, dass sich falsche Lösungsmengen einschleichen. Hierzu betrachten wir folgendes Beispiel: |
4.1. Beispiele
| Wir sehen unmittelbar, dass x=-10 keine Lösung der logarithmischen Gleichung sein kann, denn wenn wir diesen Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen würden, bekämen wir ein negatives Logarithmusargument (log(-10)). Es gibt aber keine Logarithmen von negativen Zahlen. Die Lösung x=-10 hat sich somit durch die Anwendung der Logarithmusgesetze eingeschlichen. Wir fragen uns, warum. Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, bezeichnen wir als äquivalente Gleichungen. Äquivalent sind z. B. die beiden Gleichungen 3x+2=8 und 3x=6, denn beide haben dieselbe Lösungsmenge  . |
||
| Ändert sich bei der Umformung einer Gleichung die Lösungsmenge nicht, dann spricht man von einer Äquivalenzumformung. Zu den Äquivalenzumformungen gehören: |
||
| • | die Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung. | |
| • | die Subtraktion derselben Zahl von beiden Seiten der Gleichung. | |
| • | die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Zahl. | |
| • | die Division beider Seiten einer Gleichung durch dieselbe von Null verschiedene Zahl. | |
| Die Anwendung der Logarithmengesetze zählt nicht zu den Äquivalenzumformungen, da sich dabei die Lösungsmenge ändern kann. | ||
| Wie jedoch können wir dieses Problem bei der Behandlung logarithmischer Gleichungen umgehen? |  Gleich zu Beginn der Gleichungslösung die Definitionsmenge aufstellen. |
|
| Und zur Warnung gleich noch zwei Beispiele in verkürzter Form. | ||
4.1.2. Beispiel 7
| log2(3x-9)=2+log2(2x-1) | |||||
| 1. | Schritt: | ||||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
3x-9 > 0 ∧ 2x-1> 0 x > 3 und x > 0,5  |
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Beide Logarithmen auf eine Seite bringen. |
log2(3x-9)-log2(2x-1)=2 | ||||
| 3. | Schritt: | ||||
Anwendung des Logarithmusgesetzes  |
 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren |
 |
||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Nach x auflösen |
3x-9=4⋅(2x-1) 3x-9=8x-4 5x=-5  |
||||
4.1.3. Beispiel 8
| log3(x)=5-log3(x+18) | |||||
| 1. | Schritt: | ||||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
x > 0 ∧ x+18> 0 x > 0 und x > -18  |
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Beide Logarithmen auf eine Seite bringen. |
log3(x)+log3(x+18)=5 | ||||
| 3. | Schritt: | ||||
Anwendung des Logarithmusgesetzes  |
 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Entlogarithmieren |
x2+18x =35=243 | ||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Nach x auflösen |
x2+18x-243=0   |
||||
5. Lösungsmethoden logarithmischer Gleichungen
| Neben den bislang behandelten Lösungsmethoden können zusätzliche Wege zu einer schnellen Lösung führen, ohne dass umständlich entlogarithmiert werden muss. |
5.1. Logarithmische Gleichungen in der Form loga(u)=loga(v)
| Besonders leicht zu lösen sind logarithmische Gleichungen, bei denen rechts und links des Gleichheitszeichens nur je ein Logarithmus zur gleichen Basis steht. |
| Sind nämlich die Logarithmen zweier positiver Zahlen u und v gleich, dann sind auch die beiden Zahlen u und v selbst gleich und es gilt folgender Merksatz: |
Merksatz zu logarithmischen Gleichungen
| Gilt für alle | |||
| u>0; v>0; a>0 mit a≠1, | |||
| dann folgt aus | |||
| loga(u)=loga(v) | |||
| die Lösung | |||
| u=v | |||
Auf Grund dieser Gesetzmäßigkeit lässt sich beispielsweise die logarithmische Gleichung log5(x+7)=log5(2x-3) mit  problemlos in eine logarithmenfreie Form bringen. |
| Enthält die Gleichung mehr als zwei Logarithmen, dann fasst man diese unter Verwendung der Logarithmengesetze so zusammen, dass schließlich rechts und links vom Gleichheitszeichen nur noch je ein Logarithmus steht. |
5.1.2. Beispiel 10
| log3(x+8)+log3(x+9)=log3(13x+93) |
|||||
| 1. | Schritt: | x+8>0 ∧ x+9>0 ∧ 13x+93>0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
x>-8 und x>-9 und  |
||||
|
 |
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Logarithmen zusammenfassen: |
log3((x+8)⋅(x+9))=log3(13x+93) | ||||
| 3. | Schritt: | ||||
| Numeri gleichsetzen |
(x+8)⋅(x+9)=13x+93 | ||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Nach x auflösen | x2+17x+72=13x+93 x2+4x-21=0  |
||||
|
x1=3; x2=7 | ||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Lösungsmenge aufschreiben |
  |
||||
| 6. | Schritt: | ||||
| Probe 1. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log3(3+8)+ | log3(13⋅3+93)= | |||
| log3(3+9)= | log3(132)= | ||||
| log3(11)+log3(12)= | 4,44452 | ||||
| 4,44452 | |||||
| Probe 2. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log3(-7+8)+ | log3(13⋅(-7)+93)= | |||
| log3(-7+9)= | log3(2) | ||||
| log3(1)+log3(2)= | |||||
| log3(2) | |||||
5.2. Logarithmische Gleichungen mittels Substitution lösen
| Gelegentlich begegnen wir auch logarithmischen Gleichungen, bei denen die zweite Potenz, also das Quadrat eines Logarithmus, auftritt. Bei derartigen Aufgaben bedienen wir uns der Substitution. |
5.2.1. Beispiel 11
| (log(x))2+2log(x)=3 |
|||||
| 1. | Schritt: | x>0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
 |
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Substitution |
log(x)=u u2+2u=3 u2+2u-3=0 |
||||
| 3. | Schritt: | ||||
| Quadratische Gleichung nach u auflösen. |
 u1=1; u2=-3 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Resubstitution |
log(x1)=u1=1 ⇒ x1=10 log(x2)=u2=-3 ⇒  |
||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Lösungsmenge aufschreiben |
  |
||||
| Wenn die Numeri der auftretenden Logarithmen nicht gleich sind, dann versagt das zuvor beschrieben Verfahren. Manchmal kommt man aber trotzdem weiter, wenn man geschickte Umformungen nach den Logarithmusgesetzen vornimmt. |
5.2.2. Beispiel 12
| (log2(x))2-log2(2x)=log2(x2)-1 |
|||||
| 1. | Schritt: | x>0 | |||
| Die Definitionsmenge ermitteln. |
|
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Zweckmäßige Umformung |
log2(x2)=2⋅log2(x) log2(2x)=log2(2)+log2(x)=1+log2(x) (log2(x))2-1-log2(x)=2⋅log2(x)-1 |
||||
| 3. | Schritt: | ||||
| Geschicktes Zusammenfassen. |
(log2(x))2-3log2(x)=0 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Substitution |
u=log2(x) u2-3u=0 u(u-3)=0 |
||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Nach u auflösen |
u1=0 u2=3 |
||||
| 6. | Schritt: | ||||
| Resubstitution |
log2(x1)=u1=0 ⇒ x1=1 log2(x2)=u2=3 ⇒ x2=8 |
||||
| 7. | Schritt: | ||||
| Lösungsmenge aufschreiben |
  |
||||
5.3. Logarithmische Gleichungen mit versteckter Potenz
| Manchmal gibt eine logarithmische Gleichung nicht sofort zu erkennen, dass sie das Quadrat eines Logarithmus enthält. Da müssen wir dann erst genauer hinschauen und die ein oder andere Umformung vornehmen. |
5.3.1. Beispiel 13
| log(xlog(x))+6=5⋅log(x) | |||||
| 1. | Schritt: | ||||
| Die Definitionsmenge ermitteln |
x>0 |
||||
| 2. | Schritt: | ||||
| Anwendung des Logarithmusgesetzes loga(ur)=r⋅loga(u) |
log(xlog(x))=log(x)⋅log(x)=(log(x))2 | ||||
| 3. | Schritt: | ||||
| Substitution |
(log(x))2+6=5⋅log(x) log(x)=u u2+6=5u u2-5u+6=0 |
||||
| 4. | Schritt: | ||||
| Quadratische Gleichung nach u auflösen |
 u1=3; u2=2 |
||||
| 5. | Schritt: | ||||
| Resubstutution |
log(x1)=u1=3 ⇒ x1=1000 log(x2)=u2=2 ⇒ x2=100 |
||||
| 6. | Schritt: | ||||
| Lösunsmenge aufschreiben |
  |
||||
| 7. | Schritt: | ||||
| Probe 1. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log(1000log1000)+6 | 5⋅log(1000) | |||
| =log(10003)+6 | =5⋅3 | ||||
| =log(109)+6 | =15 | ||||
| =9+6=15 | |||||
| Probe 2. Lösung | linke Seite | rechte Seite | |||
|
log(100log100)+6 | 5⋅log(100) | |||
| =log(1002)+6 | =5⋅2 | ||||
| =log(10000)+6 | =10 | ||||
| =4+6=10 | |||||
| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 1/ Blatt 1  18 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 2 18 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 1 18 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 2 18 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 1 10 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 2 12 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmische Gleichungen Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 3 12 Aufgaben im Blatt |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
