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WIKI zu den Logarithmengesetzen
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1. Einführung
| Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einen Logarithmus berechnet, untersuchen wir einmal, wie es sich mit den Logarithmen zweier Zahlen und dem Logarithmus ihres Produkts verhält. Hierzu betrachten wir die folgenden Kästchen: | |
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| Diese drei Beispiele lassen vermuten, dass zwischen den Logarithmen zweier positiver Zahlen u und v und dem Logarithmus ihres Produktes die folgende Beziehung besteht: | |
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2. Logarithmus Rechengesetze
In diesem WIKI nun lernen wir die Logarithmengesetze für die verschiedenen Logarithmus-Operationen für Multiplikation, Division und Potenzen kennen.2.1. Logarithmus Sonderregeln
Wie wir in früheren Kapiteln bereits kennengelernt haben, existieren 3 Sonderregeln, die wir hier wiederholen, da sie für das Verständnis der weiterführenden Ausführungen von besonderer Bedeutung sind.1. Sonderregel
Jeder Logarithmus von seiner Basis ist immer 1.
2. Sonderregel
Jeder Logarithmus von 1 ist stets 0.
3. Sonderregel
Logarithmen als Potenz ihrer Basis heben sich auf.
2.2. Logarithmen-Multiplikation
| In der Einleitung haben wir bereits festgestellt, dass loga(u)+loga(v)=loga(u⋅v) ist. Als Nachweis dieses Zusammenhangs betrachten wir uns das Folgende: Die 3. Sonderregel (siehe Sonderregeln zuvor) besagt ja, dass sich Logarithmen als Potenz ihrer Basis aufheben, dass also gilt  für b>0; a>0 und a≠1. |
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| Wir können deshalb für u, v und (u⋅v) schreiben: | |
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| Das Produkt u⋅v lässt sich damit auf zweierlei Art bilden: | |
| Es gilt somit: |  |
| Letztere Auflösung folgt der Potenzregel, dass Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden, indem die Hochzahlen addiert werden (ap⋅aq=ap+q). Wenn aber zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich, sodass gilt: |
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| loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v) | |
Merksatz zur Logarithmen-Multiplikation
Natürlich gilt diese Beziehung auch für Produkte mit mehr als zwei Faktoren:| Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt: | |||
| loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v) | |||
| Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. | |||
loga(u⋅v⋅w⋅…)=loga(u)+loga(v)+loga(w)+⋯
Nachfolgend Beispiele zur Multiplikationsregel:
2.3. Logarithmen-Division
Als Nachweis des Zusammenhangs  betrachten wir uns das Folgende: Der Quotient  lässt sich auf zweierlei Art bilden: |
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| Es gilt somit: |  |
| Letztere Auflösung folgt der Potenzregel, dass Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem die Hochzahlen subtrahiert werden ap:aq=ap-q. Wenn aber zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich. |
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Merksatz zur Logarithmen-Division
Natürlich gilt diese Beziehung auch für Quotienten mit mehr als zwei Divisoren:| Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt: | |||
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| Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. | |||
loga(u:v:w⋅…)=loga(u)-loga(v)-loga(w)-⋯Nachfolgend Beispiele zur Divisionsregel:
2.4. Logarithmen von Potenzen
| Unmittelbar aus der Logarithmen-Multiplikation ergibt sich der Logarithmus von Potenzen. Es ist ja loga(u⋅v⋅w⋅…)=loga(u)+loga(v)+loga(w)+⋯. Wenn nun aber u=v=w=⋯ ist, können wir auch schreiben: |
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| loga(u⋅u⋅u⋅…)=loga(u)+loga(u)+loga(u)+⋯ | |
| alternativ | |
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| für das r-malige Vorkommen von u. |
Merksatz zum Logarithmus von Potenzen
Nachfolgend Beispiele zur Potenzregel:
| Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt: | |||
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| Der Logarithmus einer Potenz ur ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten r und dem Logarithmus von u zur Basis a. | |||
| Dies ist eine der wesentlichsten Aufgaben des Logarithmus, nämlich den Exponenten einer Potenz VOR den Logarithmus der Basis zu holen. | |||
| Nur durch diese Operation kann die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden, bei der die Unbekannte (Variable) Exponent einer Potenz ist. | |||
2.5. Logarithmus von Summen und Differenzen
| Gibt es den überhaupt? Wir haben ja gesehen, dass loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v) ist. Ist denn jetzt loga(u+v)=loga(u)+loga(v)=loga(u⋅v)? Oder gar   ? |
| Nun, machen wir doch einfach mal ein Beispiel und sagen u=3 und v=4. Dann müsste nach obiger Theorie doch sein: |
| loga(3+4)=loga(3)+loga(4)=loga(3∙4)=loga(12) |
| Und jetzt erkennen wir, dass ja 3+4=7 ist, und somit kann |
| loga(3+4)≠loga(12) |
| sein. Alternativ gilt dies für Differenzen, denn |
| loga(3-4)≠loga(-1) |
| Bei diesem Beispiel alleine schon deshalb, als es Logarithmen von negativen Zahlen nicht gibt. |
3. Rechnen mit Logarithmusgesetzen
| Die drei Logarithmengesetze |
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| lassen sich verwenden, um den Logarithmus zusammengesetzter Terme in seine einzelnen Bestandteile zu zerlegen. In den folgenden Beispielen stehen alle Variablen für positive Zahlen und es ist a ≠ 1. Über dem Gleichheitszeichen steht, welches der drei Logarithmengesetze bei der jeweiligen Umformung verwendet wurde. |
3.2. Rechnen von 'rechts nach links'
| Bisher haben wir die drei Logarithmengesetze „von links“ nach „rechts“ verwendet: | |
| ⇒ | Von „loga(u⋅v)“ sind wir übergegangen zu „loga(u)+loga(v)“, |
| ⇒ | von „ “ sind wir übergegangen zu „loga(u)-loga(v)“, |
| ⇒ | von „loga(ur)“ sind wir übergegangen zu „r⋅loga(u)“. |
| Natürlich können wir die Logarithmengesetze auch „von rechts“ nach „links“ anwenden: | |
| ⇒ | Von „loga(u)+loga(v)“ können wir übergehen zu „loga(u⋅v)“, |
| ⇒ | von „loga(u)-loga(v)“ können wir übergehen zu „“, |
| ⇒ | von „r⋅loga(u)“ können wir übergehen zu „loga(ur)“. |
| In dieser Richtung lassen sich mithilfe der drei Logarithmengesetze mehrere Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen. In den folgenden Beispielen stehen wiederum alle Buchstaben für positive Zahlen und es gilt zusätzlich a ≠ 1. Über dem Gleichheitszeichen steht jeweils die Nummer des bei der betroffenen Umformung verwendeten Logarithmengesetzes. |
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| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Logarithmengesetze Level 1 / Blatt 1  21 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmengesetze Level 2 / Blatt 1 22 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmengesetze Level 2 / Blatt 2 27 Aufgaben im Blatt |
| Logarithmengesetze Level 2 / Blatt 3 23 Aufgaben im Blatt |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
