2022 Original Abituraufgaben Berufsgymnasium Teile 2 bis 4 |
Teil 2 Analysis
Die Aufgabe ist zu bearbeiten. |
Aufgabe A1/2022
1. | Gegeben sind die Punkte T1 (-2|2), T2 (2|2) und H(0|4). | ||||
1.1 | Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Polynomfunktion vom Grad 4, deren Schaubild K die folgenden drei Eigenschaften hat: | ||||
• | K ist symmetrisch zur y-Achse | ||||
• | K schneidet die y-Achse im Punkt H | ||||
• | K hat einen Extrempunkt in T1 | (4P) | |||
1.2 | Gegeben ist die Funktion f mit Das Schaubild von f ist Kf (siehe Abbildung). |
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1.2.1 | Die Funktionsgleichung von f lässt sich in der Form f(x)=a(x+b)2 (x+c)2+2 darstellen. Geben Sie passende Werte für a, b und c an. (2P) |
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1.2.2 | Eine nach unten geöffnete Parabel, die H als Scheitelpunkt hat, schneidet Kf in einem Punkt S(x0│f(x0 )) mit x0>0. Begründen Sie, dass gilt. |
(3P) | |||
1.2.3 | Ermitteln Sie den größten Wert der ersten Ableitung von f für -3 ≤ x ≤ 3. |
(4P) | |||
1.3 | Das Schaubild der Funktion g mit g(x)=cos(u⋅x)+v; -3 ≤ x ≤ 3 hat nur die drei Extrempunkte T1, H und T2. | ||||
1.3.1 | Bestimmen Sie die Werte von u und v. | (2P) | |||
1.3.2 | Skizzieren Sie das Schaubild der Stammfunktion G von g mit G(-3)=0. Begründen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen wahr sind: |
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(1) | Jede Stammfunktion von g besitzt eine Umkehrfunktion. | ||||
(2) | Der Definitionsbereich einer solchen Umkehrfunktion ist ein Intervall der Länge . | (5P) |
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Teil 2 Anwendungsorientierte Analysis
Von drei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A2/2022
2 | Forscher gehen davon aus, dass bei der Herstellung von Zement im Zeitraum von Beginn des Jahres 1950 bis einschließlich 2010 weltweit rund 3∙1010 Tonnen Kohlendioxid (CO2) freigesetzt wurden, d.h. pro Jahr wurden durchschnittlich etwa 4,9⋅108 Tonnen CO2 freigesetzt. | |||||||||||
2.1 | Ein Quadratkilometer (km2) Regenwald absorbiert jährlich rund 400 Tonnen CO2 aus der Atmosphäre. Ermitteln Sie, wie viele Quadratkilometer Regenwald nötig wären, um die durchschnittlich pro Jahr so freigesetzte Menge an CO2 zu absorbieren. Geben Sie an, um wie viel Prozent diese Regenwaldfläche von der Fläche Deutschlands (circa 357000 km2) abweicht. |
3P | ||||||||||
2.2 | Andererseits absorbiert Zement, falls dieser zum Beispiel zu Beton verarbeitet wurde, im Laufe der Zeit wieder einen Teil des zuvor freigesetzten CO2. In der Tabelle sind die von den Forschern ermittelten Mengen an CO2 aufgelistet, die weltweit in den betrachteten Jahren durch den verarbeiteten Zement absorbiert wurden. Beispielsweise wurden im Jahr 1990 weltweit 255 Millionen Tonnen CO2 durch den verarbeiteten Zement absorbiert. |
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2.2.1 | Die vom Zement absorbierte Menge an CO2 ist im dargestellten Zeitraum exponentiell angewachsen. Erläutern Sie, wie dies aus den Daten hervorgeht. |
2P | ||||||||||
2.2.2 | Die Funktion m mit und t ≥ 0 modelliert die jährlich absorbierte Menge an CO2 in Tonnen. Dabei wird t in Jahren gemessen und t=0 entspricht dem Beginn des Jahres 1950. | |||||||||||
2.2.2.1 | Zeigen Sie, dass die Wachstumskonstante k etwa den Wert 0,048 hat. | 2P | ||||||||||
2.2.2.2 | Ermitteln Sie für den Zeitraum von Beginn des Jahres 1950 bis einschließlich 2010, wie viel Prozent der bei der Herstellung von Zement freigesetzten CO2-Menge im selben Zeitraum wieder absorbiert wurden. | 3P |
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Aufgabe A3/2022
3 | Ein Marktforschungsinstitut ermittelt zu Beginn des Jahres 2021 einen Marktanteil von 6 % der rein elektrisch angetriebenen Autos (E-Autos) unter allen neu zugelassenen Autos. Die zukünftige Entwicklung dieses Marktanteils zum Zeitpunkt t wird im Folgenden durch die Funktion f mit modelliert, wobei t in Monaten ab Beginn des Jahres 2021 gemessen wird. Beispielsweise ist f(1) der Marktanteil, den man zu Beginn des Monats Februar im Jahr 2021 für die E-Auto Neuzulassungen erwartet. |
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3.1 | Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. | ||
(1) | Zu Beginn des Monats Februar 2023 wird etwa jedes sechste neu zugelassene Auto ein E-Auto sein. | ||
(2) | Der Marktanteil der E-Autos wird im Jahr 2025 erstmalig 50 % übersteigen. | 3P | |
3.2 | Begründen Sie, dass der Marktanteil der neu zugelassenen E-Autos um mehr als 60 % pro Jahr zunimmt. | 2P | |
3.3 | Ermitteln Sie den durchschnittlichen Marktanteil der E-Autos unter allen neu zugelassenen Autos von Beginn des Jahres 2021 bis einschließlich 2025. | 3P | |
3.4 | Im Folgenden wird mit der Funktion g: t→g(t) mit t ≥ 0 die gesamte Anzahl der monatlich neu zugelassenen Autos zum Zeitpunkt t modelliert, wobei t die vergangene Zeit in Monaten ab Beginn des Jahres 2021 ist. Formulieren Sie eine Frage im Sachzusammenhang, die durch die Bestimmung des Wertes des Integrals beantwortet werden kann. |
2P |
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Aufgabe A4/2022
4 | Die Mantelfläche einer ein Meter hohen Vase wird durch Rotation des Schaubilds der Funktion f mit f(x)=0,014x3-0,2x2+0,625x+1,7; 0≤x≤10 um die x-Achse modelliert. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter (dm) in der Realität. Die Dicke des Vasenbodens und die Wandstärke der Vase werden vernachlässigt. | ||
4.1 | Bestimmen Sie den Wert des Flächeninhalts des Bodens der Vase. Berechnen Sie die Differenz aus dem Durchmesser der Vasenöffnung und dem Durchmesser des Vasenbodens. |
2P | |
4.2 | Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Der größte Durchmesser der Vase ist größer als 4,4 dm.“ |
3P | |
4.3 | Es gilt . Das Design der Vase soll nun geändert werden. Bis zu einer Höhe von 5 dm soll dabei das Modell f beibehalten werden. Ab dieser Höhe wird eine Gerade verwendet, die sich knickfrei an das Schaubild von f anschließt. Bestimmen Sie die Höhe der derart veränderten Vase, falls deren Fassungsvermögen insgesamt 70 Liter betragen soll. |
5P |
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Teil 3 Stochastik
Von zwei Aufgaben ist eine Aufgabe auszuwählen und zu bearbeiten. |
Aufgabe A1 Stochstik
1 | Ein Institut untersucht im Auftrag eines Streamingdienstes das Medienverhalten von Bürgern einer Großstadt. | |||
1.1 | Eine statistische Erhebung unter 1000 zufällig ausgewählten Teilnehmern hat das Folgende ergeben: 450 Teilnehmer sind jugendlich und nutzen einen Streaming-dienst. Die Ergebnisse der Erhebung sind in der nicht vollständig ausgefüllten Tabelle dargestellt. Dabei bezeichnen J und S die folgenden Ereignisse: |
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J: | Teilnehmer ist jugendlich. | |||
S: | Teilnehmer nutzt einen Streamingdienst. | |||
1.1.1 | Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilnehmer der Erhebung jugendlich ist und einen Streamingdienst nutzt. Beurteilen Sie, ob die Ereignisse J und S stochastisch unabhängig sind. |
(3P) | ||
1.1.2 | Erläutern Sie die Bedeutung des Wertes PJ(S) im Sachzusammenhang. | (2P) | ||
1.2 | Dem Institut ist bekannt, dass 70 % der Nutzer von Streamingdiensten den Anbieter A, 40 % den Anbieter B und 35 % beide Anbieter A und B verwenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer von Streamingdiensten keinen dieser beiden Anbieter verwendet. | (3P) | ||
1.3 | An einer vom Institut organisierten Umfrage nimmt erfahrungsgemäß nur jede fünfte angesprochene Person teil. | |||
1.3.1 | Es werden 5000 zufällig ausgewählte Personen angesprochen. Die binomialverteilte Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen, die an der Umfrage teilnehmen. Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl k, für die gilt: |
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(4P) | ||||
1.3.2 | Ermitteln Sie die Anzahl der Personen, die mindestens angesprochen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 1000 Personen für die Umfrage zu gewinnen. | (3P) |
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Aufgabe A2 Stochastik
2.1 | In einer Urne befinden sich 100 Kugeln. 20 Kugeln sind rot, 30 gelb und 50 blau. Aus dieser wird immer ohne Zurücklegen gezogen. | |||
2.1.1 | Zunächst werden nacheinander drei Kugeln gezogen. | |||
2.1.1.1 | Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: | |||
A: | Die ersten beiden Kugeln sind blau und die dritte Kugel ist rot. | |||
B: | Mindestens zwei Kugeln sind rot. | |||
C: | Die dritte Kugel ist gelb. | (5P) | ||
2.1.1.2 | Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses D gilt: Formulieren Sie ein zugehöriges Ereignis D im Sachzusammenhang. |
(2P) | ||
2.1.2 | Es werden nun sechs Kugeln gezogen. Jemand behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau vier rote Kugeln gezogen werden, kann durch berechnet werden.“ Begründen Sie, warum diese Behauptung falsch ist, und geben Sie einen richtigen Lösungsansatz an. |
(3P) | ||
2.2 | In einer anderen Urne befinden sich ebenfalls nur rote, gelbe und blaue Kugeln. Von jeder Farbe sind jedoch jeweils gleich viele Kugeln in dieser Urne. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Ziehen ohne Zurücklegen nur Kugeln gleicher Farbe gezogen werden ist mindestens 10 %. Ermitteln Sie die Anzahl der Kugeln, die in dieser Urne mindestens enthalten sein müssen. |
(5P) |
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Teil 4 Vektorgeometrie
Eine von 2 Aufgabe ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Vektorgeometrie" im Unterricht behandelt. |
- Augabe A1 Vektorgeometrie
- Lösung A1 Vektorgeometrie 1.1 - 1.3
- Lösung A1 Vektorgeometrie 1.4.1 - 1.4.3
Augabe A1 Vektorgeometrie
1 | Betrachtet wird das Abtauchen eines U-Bootes (siehe Abbildung). Die Meeresoberfläche wird durch die x1x2-Ebene dargestellt. Das punktförmige Modell des U-Boots bewegt sich zu Beginn mit konstanter Geschwindigkeit vom Start im Ursprung O(0|0|0) innerhalb einer Minute geradlinig zum Punkt (60|60|-8). Danach behält das U-Boot die Richtung und zunächst auch die Geschwindigkeit bei. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter (m) in der Realität. Die Ebene E mit E: x1+x2+10x3+200=0 modelliert für x3 ≤ 0 die Grenze zwischen dem Meer und dem unter Wasser liegenden Land. |
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1.1 | Geben Sie den Punkt P an, an dem sich das U-Boot nach 2 Minuten befindet. Nennen Sie die zugehörige Tiefe und berechnen Sie den Abstand von P zu O. |
(2P) | |
1.2 | Berechnen Sie, wie viele Kilometer das U-Boot in einer Stunde zurücklegen würde. | (2P) | |
1.3 | Ermitteln Sie die Schnittgerade von E mit der x1x2-Ebene. Beschreiben Sie deren Bedeutung im Sachkontext. |
(3P) | |
1.4 | Ab einer Tiefe von 120 m beschreibt der Vektor die Geschwindigkeit des U-Boots (in Meter pro Minute) beim Abtauchen in den anschließenden 60 Minuten. Danach ist das Abtauchen des U-Boots beendet. | ||
1.4.1 | Begründen Sie, dass die folgenden Aussagen wahr sind: | ||
(1) | „Der Betrag der Geschwindigkeit reduziert sich ab 120 m Tiefe um 75 %.“ | ||
(2) | „Die Geschwindigkeit ändert sich 15 Minuten nach Beginn des Abtauchens.“ | (2P) | |
1.4.2 | Zeigen Sie, dass sich der Abstand des U-Boots zu E mit zunehmender Tiefe vergrößert. | (3P) | |
1.4.3 | Ermitteln Sie den mittleren Abstand des U-Boots zu der durch E modellierten Grenze während der letzten 60 Minuten des Abtauchens. | (3P) |
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- Augabe A2 Vektorgeometrie
- Lösung A2 Vektorgeometrie 2.1 - 2.3.1
- Lösung A2 Vektorgeometrie 2.3.2
- Lösung A2/2022 2.4
Augabe A2 Vektorgeometrie
2 | Betrachtet wird das Modell einer Kirche. Der Kirchturm besteht aus einem Quader mit aufgesetzter Pyramide. Einer Bauzeichnung kann man Folgendes entnehmen:Die Punkte A(2|0|0), B(2|2|0), C(0|2|0) und D(0|0|0) bilden die Grundfläche. Das Dach hat die vier Eckpunkte E(2|0|6), F(2|2|6), G(0|2|6), H(0|0|6) und die Turmspitze S(1|1|8).Eine Längeneinheit entspricht 10 Meter (m). | |
2.1 | Zeichnen Sie das Modell des Kirchturmes in ein geeignetes Koordinatensystem. | (2P) |
2.2 | Das Dach des Kirchturmes soll vollständig gedeckt werden. Hierfür werden Ziegel verwendet, die pro Ziegel 0,12 m2 abdecken. Die Ziegel werden auf Paletten mit jeweils 200 Ziegeln geliefert. Bestimmen Sie die kleinstmögliche Anzahl von Paletten, die geliefert werden müssten. |
(3P) |
2.3 | Der Vektor modelliert zu einem bestimmten Zeitpunkt die Richtung des einfallenden Sonnenlichtes. | |
2.3.1 | Berechnen Sie den Winkel, unter dem das Sonnenlicht auf den Boden (d.h. die x1 x2-Ebene) trifft. | (2P) |
2.3.2 | Auf der Turmspitze S befindet sich ein senkrecht stehendes Kreuz der Höhe h. Der Kirchturm und das Kreuz werfen einen Schatten. Der Schattenpunkt des höchsten Punktes ist P(3,1|5,2|0). Bestimmen Sie die Höhe h. |
(3P) |
2.4 | Im Kirchturm soll eine Glocke eingebaut werden. Die Position der Glocke wird im Modell mit Q bezeichnet. Der Abstand von Q zu den Eckpunkten E, F, G und H des Daches soll jeweils dreimal so groß sein wie der Abstand von Q zur Turmspitze S. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q. |
(4P) |
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Teil 4 Matrizen und Prozesse
Eine von 2 Aufgaben ist zu bearbeiten, wenn Wahlgebiet "Matrizen" im Unterricht behandelt. |
Aufgabe A1 Matrizen und Prozesse (4 Teilaufgaben)
1 | Vier verschiedene Stromanbieter A, B, C und D konkurrieren in einer Stadt um die dortigen 25200 Haushalte. Die Anzahl der Haushalte bleibt konstant. Jeder Haushalt ist an genau einen dieser Anbieter vertraglich gebunden. Verträge sind jeweils ein Jahr lang gültig. Die aktuelle Entwicklung des Wechselverhaltens der Haushalte bei den Stromanbietern lässt sich von einem Jahr zum nächsten modellhaft durch die Gleichung M mit | ||
M und beschrieben. Hierbei wird die Anzahl der Haushalte, die einen Vertrag mit dem entsprechenden Stromanbieter haben, ebenfalls mit A, B, C und D bezeichnet. |
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1.1 | Interpretieren Sie den Eintrag 0,25 im Sachzusammenhang. Für zwei mögliche Paare von Stromanbietern wechseln untereinander keinerlei Haushalte. Nennen Sie diese Paare. Geben Sie den Stromanbieter an, dessen vertraglich gebundene Haushalte am wenigsten zufrieden sind. |
4P | |
1.2 | Im Jahr 2021 waren 3000 Haushalte an Stromanbieter A, 5000 Haushalte an B und 7000 Haushalte an C vertraglich gebunden. Bestimmen Sie für jeden Stromanbieter die zu erwartende Anzahl von Haushalten, die im Jahr 2022 an den Anbieter gebunden sein werden. | 3P | |
1.3 | Eine Verteilung bleibt von einem auf das nächste Jahr unverändert und Stromanbieter C bindet doppelt so viele Haushalte vertraglich an sich wie Anbieter A. Berechnen Sie hierfür die Verteilung aller Haushalte. | 4P | |
1.4 | Anbieter B und C haben jeweils gleich viele Haushalte vertraglich an sich gebunden. Anbieter A möchte die Entwicklung beeinflussen, um langfristig ebenso viele Haushalte wie Anbieter B bzw. Anbieter C an sich zu binden. Eine Werbeaktion von Anbieter A zielt daher darauf ab, den Anteil der alljährlichen Wechsel der Haushalte von B und D zu A um den selben Prozentsatz zu erhöhen. Im selben Maße soll sich dann der Anteil der alljährlichen Wechsel von B und D zu C verringern. Ansonsten soll das Wechselverhalten aber unverändert bleiben. Beurteilen Sie, ob dies möglich ist und ermitteln Sie gegebenenfalls, wie viel Prozent der Haushalte dabei von Anbieter B zu C wechseln würden. |
4P |
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Aufgabe A2 Matrizen und Prozesse (4 Teilaufgaben)
2 | Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R1, R2 und R3 die Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte E1, E2 und E3 hergestellt. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist den folgenden Tabellen zu entnehmen. | |||||||||
E1 | E2 | E3 | E1 | E2 | E3 | |||||
Z1 | 2 | 1 | 2 | R1 | 43 | 36 | 33 | |||
Z2 | 3 | 0 | 1 | R2 | 30 | 15 | 19 | |||
Z3 | 1 | 4 | 2 | R3 | 37 | 14 | 20 | |||
2.1 | Für einen Auftrag sollen 400 ME von E1, 600 ME von E2 und 500 ME von E3 hergestellt werden. | |||||||||
2.1.1 | Berechnen Sie, wie viele ME der drei Rohstoffe dafür benötigt werden. | 2P | ||||||||
2.1.2 | Für diesen Auftrag betragen die Fixkosten 2050 €, die gesamten Rohstoffkosten 400 € und die gesamten Fertigungskosten der Endprodukte betragen 1850 €. Die Fertigungskosten pro ME für Z2 sind 2,5 mal so hoch wie für Z1. Für Z3 sind diese Kosten 1,25 mal so hoch wie für Z1. Die Verkaufspreise pro ME der Endprodukte betragen 20 € für E1 und jeweils 35 € für E2 und E3. Es wird ein Gewinn von 8000 € erwirtschaftet. Bestimmen Sie die Fertigungskosten pro ME der drei Zwischenprodukte. |
5P | ||||||||
2.2 | Für einen weiteren Auftrag werden 4600 ME des Zwischenprodukts Z1, 3800 ME von Z2 und 6250 ME von Z3 hergestellt. Die Zwischenprodukte sollen für den Auftrag vollständig zu Endprodukten weiterverarbeitet werden, wobei 950 ME von E1 produziert werden sollen. Beurteilen Sie, ob dieser Auftrag ausführbar ist. |
3P | ||||||||
2.3 | Das Endprodukt E3 wird zukünftig nicht mehr produziert. Im Lager befinden sich noch 30000 ME des Rohstoffs R2, die vollständig aufgebraucht werden müssen. Es sollen zudem nicht mehr als 1000 ME von E1 produziert werden. Ermitteln Sie, wie viele ME der Rohstoffe R1 und R3 mindestens bzw. höchstens im Lager vorhanden sein müssen. | 5P |
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2022 Original Abituraufgaben Berufsgymnasium Teile 2 bis 4 |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 04. September 2022 04. September 2022