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Trigonometrie Realschulabschluss |
Realschulabschluss Trigonometrie | Themenerläuterung
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Im Kapitel Trigonometrie bekommst du Zeichnungen von zusammengesetzten Figuren aus Dreiecken, Quadraten, Rechtecken, Parallelogrammen, Trapezen und eventuell Kreisbögen. Einige Streckenlängen und/oder einige Winkel der Figuren werden vorgegeben. Du sollst an Hand dieser Angaben andere Strecken, Winkel und Flächeninhalte von Teilfiguren berechnen. Die Lösung dieser Aufgaben ist in den meisten Fällen nur über Teildreiecke der Figuren möglich. Dabei handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke oder allgemeine Dreiecke. Oftmals musst du diese Dreiecke durch geeignete Hilfslinien bilden, um an die geforderten Ergebnisse zu gelangen. Dabei beachte bitte Folgendes: Bei rechtwinkligen Dreiecken verwendest du die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan sowie den Satz des Pythagoras. Bei allgemeinen Dreiecken, also Dreiecken, in denen kein rechter Winkel vorhanden ist, benutzt du am schnellsten den Sinussatz bzw. Kosinussatz und für Flächenberechnungen die Formel des trigonometrischen Flächeninhalts (siehe nachfolgend „Die wichtigsten benötigten Formeln“). Beachte auch bitte: Alle erforderlichen Formeln stehen in der Formelsammlung mit Ausnahme des Kosinussatzes. Da die Verwendung des Sinus- und des Kosinussatzes in vielen Fällen den Rechenweg wesentlich vereinfacht, solltest du dir den Kosinussatz gut einprägen. Im nächsten Thema wird der Sinus- und Kosinussatz sowie der trigonometrische Flächeninhalt nochmals ausführlich erläutert. Bei den einzelnen Aufgaben erhältst du jeweils einen Hinweis/Tipp, ob eine schnellere Lösung mit dem Sinus- bzw. Kosinussatz möglich ist. Die Lösungsteile der Aufgaben sind in diesen Fällen aufgeteilt in die einfache Lösung und in die herkömmliche – als umständlich gekennzeichnet – Lösung. |
Die wichtigsten benötigten Formeln
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1. Der Satz des Pythagoras
Ist im rechtwinkligen Dreieck c die Hypothenuse (= längste Seite) und a und b die beiden Katheten, so gilt: |
c2=a2+b2 bzw. ![]() |
a2=c2-b2 bzw. ![]() |
b2=c2-a2 bzw. ![]() |
2. Die trigonometrischen Formeln
![]() ![]() ![]() ![]() Die Hypothenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel, um den es geht, gegenüber liegt. Die Ankathete ist die Kathete, die an dem Winkel, um den es geht, anliegt. |
3. Die Flächenformeln
Dreieck: | ![]() Beim rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete die Grundseite und die andere Kathete die Höhe auf diese Grundseite. |
Quadrat: | A=a2 mit a als der Seitenlänge. |
Rechteck: | A=a⋅b mit a und b als die beiden Seitenlängen des Rechtecks. |
Parallelogramm: | A=a⋅ha bzw. b⋅hb mit a bzw. b als eine der beiden Seiten des Parallelogramms und ha bzw hb als Höhe auf die jeweilige Seite. |
Trapez: | ![]() |
Drachen/Raute: | ![]() |
4. Der Sinussatz
![]() ![]() Diese allgemeine Form des Sinussatzes lässt sich aber nur sehr schwer merken. Deshalb bilden wir uns eine „Eselsbrücke“. Für die Anwendung des Sinussatzes brauchst du eine bekannte Seite (im Beispiel die Seite ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
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5. Der Kosinussatz
![]() ![]() Für die Anwendung des Kosinussatzes brauchst du zwei bekannte Seite (im Beispiel die Seiten ![]() ![]() ![]() ![]() Wir setzen Zahlen ein und erhalten: ![]() ![]() Die restlichen Werte des Dreiecks können nun mühelos über den Sinussatz ermittelt werden. ![]() ![]() ![]() Wir setzen Zahlen ein: ![]()
![]() ![]() Die restlichen Werte des Dreiecks lassen sich dann wieder einfach über den Sinussatz berechnen. |
6. Trigonometrischer Flächeninhalt
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Du benötigst zur Flächenberechnung mithilfe des trigonometrischen Flächeninhaltes zwei bekannte Seite (im Beispiel die Seiten ![]() ![]() ![]()
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7. Besondere Werte für sin, cos und tan
In bestimmten Aufgaben sollst du den Nachweis eines Flächeninhalts, des Umfangs einer Figur, der Länge einer Strecke oder gar dem Wert eines sin, cos bzw. tan führen in Abhängigkeit einer sogenannten „Formvariablen“. Diese Formvariable wird mit dem Buchstaben "e" bezeichnet. In diesen Aufgaben wird verlangt, dass du den Nachweis ohne gerundete Werte führen sollst. Dies bedeutet für dich, dass du keinen Taschenrechner verwenden kannst und die Aufgabe manuell lösen musst. In diesen Aufgaben handelt es sich stets nur um Winkel der Größe 30° , 45° , 60° bzw. 90° . Für diese Winkelgrößen gibt es besondere Werte, die in nachstehender Tabelle aufgeführt sind. Diese Tabelle findest du auch in deiner Formelsammlung.
![]() ![]() Angenommen, du erhältst ein Ergebnis wie etwa ![]() ![]() Für unser Beispiel ![]()
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Aufgaben nach Aufgabengebiet Übungen / Pflicht- / Wahlteile ![]() |