 |
|
Vom Differenzenquotienten zur Ableitung in der Differenzialrechnung
|
Regeln und Beispiele
| Dieses Kapitel bringt dir nun diese Rechenoperation näher. Wir unterscheiden dabei zwei wesentliche Operationen, nämlich |
Steigungsbestimmung in einem bestimmten Punkt
| Betrachten wir zunächst die Steigungsbestimmung in einem bestimmten Punkt. Der Mathematiker unterscheidet hier nach zwei Methoden, zum einen der sogenannten "x"–Methode und zum anderen der sogenannten "h"–Methode. |
 Auch hier müssen wir den Differenzenquotienten aufstellen. Ein beliebiger Punkt Q auf f hat die Koordinaten Q(x|f(x)).Wir bilden den Differenzenquotienten mit    Der Zähler x2-4x+3 lässt sich faktorisieren zu (x-3)⋅(x-1), sodass gilt:   Die Steigung der Tangente an f in P(3|-3) und damit auch die Steigung der Kurve beträgt 2. Hinweis: Die "x"-Methode ist im gymnasialen Schulbetrieb unüblich, wird jedoch an Universitäten behandelt. |
 Im Gegensatz zur "x"-Methode wird hier ein beliebiger Abstand h der x-Koordinate, den der Punkt Q zu P hat, herangezogen (siehe Grafik).Die Aufstellung des Differenzenquotienten führt damit zu:    | mit h gekürzt =h+2 Läuft nun h gegen Null, so bedeutet dies, dass der Punkt Q auf dem Graphen von f solange verschoben wird, bis Q mit P zusammenfällt. In diesem Falle wird dann aus der Sekante durch P und Q die Tangente in P.  Die Steigung der Tangente an f in P(3|-3) und damit auch die Steigung der Kurve beträgt m3=2. |
Steigungsbestimmung in beliebigen Punkten
| Betrachten wir nun die Steigungsbestimmung in einem beliebigen Punkt. (auf die "x"–Methode wird hier nicht mehr näher eingegangen). Zunächst führen wir hier einen neuen Begriff ein, die „Ableitung“. Spricht der Mathematiker nämlich von der Steigungsbestimmung in einem beliebigen Punkt des Graphen einer Funktion , so sagt er hier kurz „Ableitung von f". Und selbstverständlich hat er sich auch ein diesbezügliches Formelzeichen ausgedacht, nämlich f' (sprich: f Strich). f' wiederum ist eine Abkürzung für den Differenzialquotienten  , der wiederum aus dem Differenzenquotienten  hervorgeht.Der Differenzenquotient wird zum Differenzialquotienten in dem Moment, wo die beiden Punkte P und Q zusammenfallen und aus der Sekante eine Tangente wird. |
Merksatz 1 Vom Differenzenquotient zur Ableitung
| Definition: Die Funktion f sei auf einem Intervall I definiert und es sei x0 ∈ I. Wenn der Differenzenquotient  für h⟶0 einen Grenzwert besitzt, so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar (oder ableitbar). Ist f für alle x0 ∈ I differenzierbar, so nennt man f eine auf I differenzierbare Funktion. Der Grenzwert  heißt Differenzialquotient oder Ableitung von f an der Stelle x0. Dafür schreibt man kurz f'(x0) und liest „f Strich von x0„. |
||
.
| h kürzen
Weitere Beispiele
Beispiel 3
Gegeben ist die Funktion f mit  .Bilde mit Hilfe der "h"–Methode die Ableitungsfunktion f'(x). |
 In dieser Lösungsformel befindet sich nun das (x+h)3. Die einfachste Form binomische Formeln mit einer Potenz größer als 2 aufzulösen ist über das Pascalsche Dreieck, weshalb wir es hier noch einmal behandeln.      |  kürzen  Die Funktionsgleichung der Ableitung von f in einem beliebigen Punkt P(x|f(x)) lautet f'(x)=6x2-2x. |
.
| 
.
.
| erweitert mit 
| Auflösung 3. binomische Formel
| 
.| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 1  15 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 2 17 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 3 29 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 1 17 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 2 11 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 3 21 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 1 12 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 2 16 Aufgaben im Blatt |
| Vom Differenzenquotienten zur Ableitung Aufgabenblatt Level 4 / Blatt 1 4 Aufgaben im Blatt |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 23. November 2021 23. November 2021
