Nun gibt es ja auch Potenzfunktionen mit negativen Hochzahlen und sogar mit rationalen Hochzahlen. Betrachten wir uns zunächst einmal solche mit negativen Hochzahlen.
Gegeben ist die Funktion f mit . In nebenstehender Grafik haben wir für a den Wert 2 und für c den Wert 1 gewählt. Die Funktionsgleichung lautet somit . Nach den Potenzregeln können wir auch schreiben f(x)=2 ⋅ x-2+1. Differenzenquotient:
![Fit in Mathe Latex: e2c08aa4574adecf85fcd48c3ced62be.png](/media/latex/e2c08aa4574adecf85fcd48c3ced62be.png) ![Fit in Mathe Latex: ad3938855a7694fc4dca8e16750b8913.png](/media/latex/ad3938855a7694fc4dca8e16750b8913.png) ![Fit in Mathe Latex: 3b5493725248a5cc207aa1d8a718ec97.png](/media/latex/3b5493725248a5cc207aa1d8a718ec97.png) ![Fit in Mathe Latex: d5ddc6ff902d0d0d0de50f0c372f433a.png](/media/latex/d5ddc6ff902d0d0d0de50f0c372f433a.png) Differenzialquotient:
![Fit in Mathe Latex: 0d7cb06f02553bc11069b96162a38891.png](/media/latex/0d7cb06f02553bc11069b96162a38891.png) Die Ableitung der Funktion f mit ist . Wie kommen wir nun aber mit der Potenzregel zu dieser Lösung? Wir haben ja mit Hilfe der Potenzregeln umgeformt zu f(x)=2 ⋅ x-2+1. Nun können wir problemlos die Potenzregel anwenden, wir multiplizieren den Term 2⋅x-2 mit seinem Exponenten und vermindern dann die den Exponenten um 1, erhalten also 4x-1. Nun formen wir die negative Hochzahl nach den Potenzregeln wieder um zu einer positiven Hochzahl und erhalten , denselben Ausdruck, den wir auch über den Differenzialquotienten erhalten haben. Das absolute Glied 1 der ursprünglichen Funktionsgleichung ist nach der Konstantenregel ja weggefallen. Somit lautet die Ableitung von ![Fit in Mathe Latex: 3b1dd58c4ae95365e69bd964eec934d7.png](/media/latex/3b1dd58c4ae95365e69bd964eec934d7.png) . Neben negativen Hochzahlen haben Potenzfunktionen auch rationale Potenzen.
Gegeben ist die Funktion f mit
. In nebenstehender Abbildung haben wir für a den Wert 2 und für c den Wert 3 gewählt. Die Funktionsgleichung lautet somit: . Nach den Potenzregeln können wir auch schreiben:
. Differenzenquotient:
![Fit in Mathe Latex: e2c08aa4574adecf85fcd48c3ced62be.png](/media/latex/e2c08aa4574adecf85fcd48c3ced62be.png) ![Fit in Mathe Latex: af8e6f7e0f273569eaa9f62ba1fdc971.png](/media/latex/af8e6f7e0f273569eaa9f62ba1fdc971.png) ![Fit in Mathe Latex: 46e2e411759a7cb368a28b13eac3fbe4.png](/media/latex/46e2e411759a7cb368a28b13eac3fbe4.png) ![Fit in Mathe Latex: 5bac6f216f8839f523df2fbd6fdb4ec1.png](/media/latex/5bac6f216f8839f523df2fbd6fdb4ec1.png) ![Fit in Mathe Latex: 79135e0f53b1e23b6bc6e38e092975d7.png](/media/latex/79135e0f53b1e23b6bc6e38e092975d7.png) Differenzialquotient:
![Fit in Mathe Latex: 5fe11a821e433667702d5fcfab09713d.png](/media/latex/5fe11a821e433667702d5fcfab09713d.png) Die Ableitung der Funktion f mit ist . Wie kommen wir nun aber mit der Potenzregel zu dieser Lösung? Wir haben ja mithilfe der Potenzregeln umgeformt zu . Nun können wir problemlos die Potenzregel anwenden, wir multiplizieren den Term mit seinem Exponenten und vermindern dann die den Exponenten um 1, erhalten also . Nun formen wir die negative Hochzahl nach den Potenzregeln wieder um zu einer positiven Hochzahl, erhalten , und formen den Exponenten weiter um nach den Potenzregeln, und erhalten den Ausdruck , den wir auch über den Differenzialquotienten erhalten haben. Das absolute Glied 3 der ursprünglichen Funktionsgleichung ist nach der Konstantenregel ja weggefallen. Somit lautet die Ableitung von ![Fit in Mathe Latex: ec9de6ca4685617d5aa07f0e6c32ef24.png](/media/latex/ec9de6ca4685617d5aa07f0e6c32ef24.png) . |