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Definitionsbereich gebrochen-rationaler Funktionen |
1. Definitionsbereich gebrochen-rationaler Funktionen
Der Definitionsbereich ist ja der Bereich aller der Zahlenwerte, die die Variable x annehmen kann. Als mathematische Schreibweise für den Definitionsbereich kennen wir das Zeichen ![]() ![]() |
2. Die Definitionslücke
Betrachten wir uns nun aber den Nenner q(x) der gebrochen-rationalen Funktion, so kann es durchaus vorkommen, dass ein oder gar mehrere x vorkommen, bei denen q(x) den Wert 0 annimmt. Wir erhalten in diesen Fällen somit eine Division durch 0. In der Mittelstufe haben wir gelernt, dass die Division durch 0 verboten ist. Nun, das ist nicht ganz richtig. Die Division durch 0 ist nicht verboten, sie ist nur nicht definiert. Die gesamte Infinitesimalrechnung (Differential-, Integralrechnung) beschäftigt sich im Grunde genommen mit dem Thema der Division ![]() Doch zunächst müssen wir in unserer Funktionsbetrachtung die x–Werte, die zu einer Division durch 0 führen, vom Definitionsbereich ![]() |
Wie wir aus der Grafik des Beispiels 3 erkennen, wird der Funktionswert f(x), je näher K an die Stelle x1=2 herankommt, immer größer. Wir interessieren uns jetzt, welchen Wert f(x) annimmt für x=2. Hierzu nähern wir uns dieser Stelle einmal von links und einmal von rechts über nachfolgende Wertetabelle. Annäherung von links mit 1 ≤ x < 2 |
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x | 1 | 1,5 | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 | 1,99999 | ||||||||||||
f(x) | 2 | 10 | 290 | 29900 | 2999000 | 299990000 | 30000000000 | ||||||||||||
Annäherung von rechts mit 3 > x > 2 | |||||||||||||||||||
x | 3 | 2,5 | 2,1 | 2,01 | 2,001 | 2,0001 | 2,000001 | ||||||||||||
f(x) | 2 | 10 | 290 | 29900 | 2999000 | 299990000 | 30000000000 | ||||||||||||
Es gibt offensichtlich keinen exakt definierbaren Funktionswert. Je näher wir an x=2 herankommen, umso größer wird f(x), wird also unendlich groß. | |||||||||||||||||||
Hierfür hat der Mathematiker einen speziellen Ausdruck, er spricht von einer Definitionslücke mit einer besonderen Schreibweise: | |||||||||||||||||||
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sprich: „Der Definitionsbereich von f ist x als Element der Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme (\) von 2“. Hat eine Funktion f mehr als eine Definitionslücke, so werden die einzelnen x–Werte in der geschweiften Klammer {} der Reihe nach aufgezählt und durch Semikolon (;) getrennt. |
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Merksatz Definitionslücke
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3. Senkrechte Asymptoten - Pole
Wie wir gesehen haben, können wir für eine Definitionslücke keinen eindeutigen Funktionswert bestimmen. Um diese Aussage noch zu präzisieren, untersuchen wir noch eine weitere, gebrochen-rationale Funktion. |
3.1. Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit ![]() |
Für die Definitionslücke bei x=2: Wertetabelle Annäherung von links mit 1 ≤ x < 2 |
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x | 1 | 1,5 | 1,9 | 1,9999 | 1,99999 | 1,999999 | ||||
f(x) | -2 | -3,33 | -15,26 | -15000,25 | -150000,25 | -1500000,25 | ||||
Annäherung von rechts mit 3 ≥ x > 2 | ||||||||||
x | 3 | 2,5 | 2,1 | 2,0001 | 2,00001 | 2,000001 | ||||
f(x) | 1,33 | 2,8 | 14,76 | 14999,75 | 149999,75 | 1499999,75 | ||||
Für die Definitionslücke bei x=0: Wertetabelle Annäherung von links mit -1 ≤ x < 0 |
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x | -1 | -0,5 | -0,1 | -0,0001 | -0,00001 | -0,000001 | ||||
f(x) | 0 | 0,4 | 4,29 | 4999,25 | 49999,25 | 499999,25 | ||||
Annäherung von rechts mit 1 ≥ x > 0 | ||||||||||
x | 1 | 0,5 | 0,1 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 | ||||
f(x) | -2 | -2 | -5,79 | -500,75 | -50000,75 | -500000,75 | ||||
Wir machen eine interessante Beobachtung: Nähern wir uns bei x=2 der Stelle von links, so läuft der Funktionswert offensichtlich gegen -∞. Nähern wir uns hingegen von rechts, so läuft der Funktionswert gegen ∞. Nähern wir uns bei x=0 der Stelle von links, so läuft der Funktionswert offensichtlich gegen ∞. Nähern wir uns hingegen von rechts, so läuft der Funktionswert gegen -∞. |
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Im Beispiel zuvor (3) näherte sich der Funktionswert hingegen in beiden Fällen (Annäherung von links resp. rechts) gegen ∞. Es gibt also Fälle, in denen der Funktionswert keinen Vorzeichenwechsel hat, in anderen Fällen aber einen Vorzeichenwechsel aufweist. | ||||||||||
Die Näherungsgerade ist jedoch in beiden Fällen eine Parallele zur y-Achse im jeweiligen Abstand der Definitionslücke (in den Grafiken rot eingezeichnet). Eine Annäherungsgerade solcher Art bezeichnet der Mathematiker als „senkrechte Asymptote“ bzw. kürzer ausgedrückt als „Pol“. | ||||||||||
Merksatz senkrechte Asymptote / Pol
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4. Hebbare Defintionslücken
Eine weitere Untersuchung soll zeigen, dass Definitionslücken nicht in jedem Fall einen Pol besitzen. Hierzu betrachten wir |
Wir bestimmen als erstes die Werte für x für die der Nenner x3+2x2-11x-12 gleich 0 wird. Durch Ausprobieren haben wir einen ersten Wert x1=3 ermittelt. Eine Polynomdivision: | ||||||
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mit Auflösung der quadratischen Gleichung x2+5x+4=0 führt zu x2=-1 und x3=-4. Die Funktion hat also 3 Definitionslücken: | ||||||
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Die Ermittlung der Grenzwerte für x1=3 und x2=-1 führt zu den aus Beispiel 3 und Beispiel 4 bereits bekannten Ergebnissen. Der Graph der Funktion hat in diesen Stellen jeweils einen Pol mit Vorzeichenwechsel. Bei der Ermittlung des Grenzwertes in x3=-4 machen wir jedoch eine interessante Feststellung. | ||||||
Für die Definitionslücke bei x=-4: Wertetabelle Annäherung von links mit -5 ≤ x < -4 |
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x | -5 | -4,5 | -4,1 | -4,01 | -4,0001 | -4,000001 |
f(x) | -0,09 | -0,9502 | -0,0954 | -0,0953 | -0,0952 | -0,0952 |
Annäherung von rechts mit -3 ≥ x > -4 | ||||||
x | -3 | -3,5 | -3,9 | -3,99 | -3,9999 | -3,999999 |
f(x) | -0,083 | -0,0923 | -0,095 | -0,0952 | -0,0952 | -0,0952 |
Je näher wir uns der Definitionslücke von links und rechts nähern, umso konstanter wird der ermittelte Funktionswert, er läuft auf einen reell existierenden Wert zu und nicht etwa auf den Wert ∞. Wir müssen somit schreiben: | ||||||
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Unsere Funktion ist jedoch nach wie vor an der Stelle x=-4 nicht definiert. Da der Grenzwert jedoch existiert, spricht der Mathematiker in diesem Fall von einer „hebbaren Definitionslücke“. Die Funktion f kann an der Stelle x=-4 stetig fortgesetzt werden. | ||||||
![]() Lösungsgrafik zu Beispiel 3, hebbare Definitionslücke. |
Merksatz hebbare Definitionslücke
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4.2. Schnelles Erkennen einer hebbaren Definitionslücke
Eine hebbare Definitionslücke ist auch ohne Aufstellung einer Wertetabelle wie im Beispiel 3 möglich. Haben wir z. B. alle Definitionslücken ermittelt, dann setzen wir die ermittelten x-Werte in den Zähler der gebrochen-rationalen Funktion ein. Wird dabei der Zähler ebenfalls Null, wir erhalten also eine Division ![]() |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 07. Oktober 2022 07. Oktober 2022